- •Лекція 16: економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •13.1. Звичайні диференціальні рівняння. Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь першого порядку
- •13.2.Рівняння з відокремлюваними змінними
- •13.3.Однорідні диференціальні рівняння
- •13.4Лінійні диференціальні рівняння
- •13.5.Рівняння у повних диференціалах
- •13.6. Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь вищих порядків
- •13.7.Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку
- •Рівняння вигляду , що не містить шуканої функції ( ).
- •Рівняння вигляду , що не містить незалежної змінної.
- •Рівняння вигляду , яке є однорідним відносно .
- •13.8. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •13.9. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
- •13.10. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами
13.2.Рівняння з відокремлюваними змінними
Диференціальне рівняння вигляду
, (13.1)
де - відомі неперервні функції, називається рівнянням з відокремленими змінними.
З (1) маємо рівність двох диференціалів , невизначені інтеграли від яких відрізняються на постійний доданок, тому
. (13.2)
Рівняння (2) є загальним інтегралом диференціального рівняння (1).
Диференціальне рівняння вигляду
, (13.3)
де - відомі неперервні функції, називається рівнянням з відокремлюваними змінними.
За умови це рівняння зводиться до (13.1) шляхом ділення його на добуток :
,
звідки дістають загальний інтеграл рівняння (13.3)
.
Рівняння доцільно дослідити окремо (ці рівняння можуть визначати особливі розв’язки рівняння (13.3).
Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними, що розв’язане відносно похідної, має вигляд:
, (13.4)
де - відомі неперервні функції. Якщо , то загальним інтегралом рівняння (13.4) буде
.
Рівняння досліджується окремо.
Приклад 3. Розв’язати диференціальне рівняння .
Задане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними, тому поділимо його на , вважаючи, що : .
Інтегруємо одержане рівняння:
, , ,
.
Останнє співвідношення є загальним інтегралом диференціального рівняння. В ньому містяться частинні розв’язки (при ), втрачені внаслідок відокремлення змінних.
Приклад 4. Розв’язати диференціальне рівняння .
Зведемо рівняння до вигляду (13.3)
; .
Останнє рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними, ділимо його на , вважаючи :
.
Інтегруємо одержане рівняння з відокремленими змінними
; .
Загальний інтеграл одержано за умови . Легко перевірити, що є особливим розв’язком рівняння (перетворює рівняння у тотожність, але не міститься у загальному інтегралі), а - не є розв’язком рівняння.
13.3.Однорідні диференціальні рівняння
Функція називається однорідною виміру , якщо для будь-якого справджується тотожність .
Диференціальні рівняння вигляду
, (13.5)
, (13.6)
де - неперервна однорідна функція нульового виміру, - неперервні однорідні функції одного й того самого виміру, називаються однорідними.
Рівняння (5), (6) зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки або , де - нова невідома функція. Дійсно, або та, враховуючи однорідність заданих функцій, тобто , одержують рівняння (5), (6) відповідно у вигляді
,
,
де змінні легко відокремлюються.
До однорідних рівнянь зводяться рівняння вигляду
. (13.7)
Якщо , то (13.7) є однорідним, якщо або , то роблять заміну , де - деякі сталі. Враховуючи співвідношення одержують (13.7) у вигляді
. (13.8)
Сталі підбирають так, щоб пара була розв’язком системи
(13.9)
або точка була точкою перетину відповідних прямих. Тоді рівняння (13.8) стає однорідним:
. (13.10)
Розв’язавши рівняння (13.10), повертаються до змінних .
Якщо система (13.9) несумісна, тобто , то та
. (13.11)
Тоді за допомогою підстановки рівняння (13.11) зводять до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно, враховуючи рівність , одержують рівняння (13.11) у вигляді
.
Той самий підхід можна застосовувати до інтегрування рівняння вигляду
,
де - деяка неперервна функція.
Приклад 5. Розв’язати задачу Коші .
Маємо однорідне рівняння типу (5), де є однорідною функцією нульового виміру, бо , тому застосовуємо заміну :
; .
Відокремлюємо змінні та інтегруємо рівняння:
; ; ;
.
Повертаючись до змінних , одержимо загальний інтеграл у вигляді . У ньому не міститься розв’язок . Зауважимо, що не можна виразити явно із загального інтеграла, але можна виразити як функцію від : .
Для знаходження розв’язку задачі Коші покладемо у загальному інтегралі , одержимо , звідки . Отже, є частинним інтегралом рівняння, що задовольняє задану початкову умову.
Приклад 6. Розв’язати диференціальне рівняння .
Запропоноване рівняння є таким, що зводиться до однорідного, тому робимо заміну . Сталі визначаємо як розв’язок системи
звідки та .
У нових змінних рівняння стає однорідним вигляду . Робимо заміну , яка приводить до
або .
Відокремлюємо змінні та інтегруємо рівняння:
; ; .
Повертаємось до змінних , а потім до :
; .
Останнє рівняння є загальним інтегралом заданого диференціального рівняння. Зауважимо, що не є розв’язком цього рівняння (перевіряється безпосередньо).
Приклад 7. Розв’язати диференціальне рівняння .
Рівняння можна звести до однорідного, якщо зробити заміну , тоді матимемо
або .
Відокремлюємо змінні та інтегруємо одержане рівняння
; .
Загальний інтеграл рівняння в змінних матиме вигляд
.
Крім того дане рівняння має особливий розв’язок, а саме, інтегральну криву , яка в загальному інтегралі не міститься.