- •Лекція 16: економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •13.1. Звичайні диференціальні рівняння. Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь першого порядку
- •13.2.Рівняння з відокремлюваними змінними
- •13.3.Однорідні диференціальні рівняння
- •13.4Лінійні диференціальні рівняння
- •13.5.Рівняння у повних диференціалах
- •13.6. Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь вищих порядків
- •13.7.Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку
- •Рівняння вигляду , що не містить шуканої функції ( ).
- •Рівняння вигляду , що не містить незалежної змінної.
- •Рівняння вигляду , яке є однорідним відносно .
- •13.8. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •13.9. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
- •13.10. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами
13.9. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
Диференціальне рівняння порядку називається лінійним, якщо невідома функція та її похідні входять в це рівняння в першій степені, тобто це рівняння вигляду
, (13.37)
де - відомі функції, .
Надалі будемо вважати, що функції неперервні на та . Якщо , то лінійне рівняння називається неоднорідним, а якщо , то – однорідним.
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння
. (13.38)
Частинні розв’язки рівняння (13.38), називаються лінійно незалежними на відрізку , якщо вони не пов’язані ніякою тотожністю , де - деякі сталі, що не дорівнюють нулю одночасно.
Сукупність розв’язків рівняння (13.38), визначених і лінійно незалежних на , називається фундаментальною системою розв’язків.
Теорема 1. Якщо - фундаментальна система розв’язків рівняння (13.38), то
, (13.39)
де - довільні сталі, є його загальним розв’язком.
Визначником Вронського (вронскіаном) системи функцій називається визначник
(13.40)
Якщо - фундаментальна система розв’язків рівняння (13.38) на , які є неперервними та мають -шу неперервну похідну на цьому відрізку, то вронскіан цих функцій не дорівнює нулю в жодній точці (ця умова є необхідною і достатньою).
Для визначника Вронського має місце формула Ліувіля-Остроградського:
.
Структура загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння порядку визначається наступною теоремою.
Теорема 2. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння порядку дорівнює сумі будь-якого його частинного розв’язку та загального розв’язку відповідного однорідного рівняння.
Для знаходження загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння порядку застосовують метод варіації довільних сталих, тобто шукають цей розв’язок у вигляді , де невідомі функції визначаються із системи рівнянь:
13.10. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами
Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
, (13.41)
де - дійсні числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки рівняння (13.41).
Шукаємо їх у вигляді , де - дійсне число, тоді
В силу того, що , то для знаходження маємо характеристичне рівняння:
. (13.42)
Можливі наступні випадки:
1) - дійсні, , тоді фундаментальною системою розв’язків (13.41) будуть . Загальний розв’язок (13.41) матиме вигляд:
;
2) - комплексно-спряжені, тобто: . Легко перевірити, що фундаментальною системою розв’язків (13.41) будуть . Загальний розв’язок (13.41) матиме вигляд:
;
3) - дійсні, , тоді , а шукаємо у вигляді , де - невідома функція. Тоді
.
Підставивши в (41), одержимо:
. (13.43)
В силу того, що - кратний корінь характеристичного рівняння, то і (13.43) набуде вигляду: , звідки . Оберемо , тоді та . Загальний розв’язок (41) матиме вигляд:
.
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння порядку зі сталими коефіцієнтами
. (13.44)
Аналогічно складаємо характеристичне рівняння:
. (13.45)
Тоді загальний розв’язок (44) будується в залежності від характеру коренів рівняння (45):
кожному дійсному простому кореню відповідає частинний розв’язок ;
кожній парі комплексно-спряжених простих коренів відповідають два частинних розв’язки: ;
кожному дійсному кореню кратності відповідають лінійно незалежних частинних розв’язків: ;
кожній парі комплексних спряжених коренів кратності відповідають частинних розв’язків:
Загальна кількість частинних розв’язків повинна дорівнювати порядку диференціального рівняння.
У випадку лінійного неоднорідного диференціального рівняння порядку зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною для знаходження частинного розв’язку застосовують метод невизначених коефіцієнтів.
Нехай - многочлен -ї степені, тоді:
якщо не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукають у вигляді - многочлен -ї степені з невизначеними коефіцієнтами;
якщо є коренем кратності характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукають у вигляді - многочлен -ї степені з невизначеними коефіцієнтами.
Нехай - многочлени відповідно -ї та -ї степені, тоді:
якщо число не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукають у вигляді де - многочлени -ї степені з невизначеними коефіцієнтами, ;
якщо число є коренем кратності характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукають у вигляді , де - многочлени -ї степені з невизначеними коефіцієнтами, .
Зауважимо, що тоді, коли містить лише або частинний розв’язок шукають у вигляді, що включає обидві функції.
Невизначені коефіцієнти можна знайти із системи лінійних рівнянь, які одержуються в результаті прирівнювання коефіцієнтів подібних членів у правій та лівій частинах початкового рівняння після підстановки в нього частинного розв’язку та його похідних.
Приклад 21. Розв’язати диференціальне рівняння .
Характеристичне рівняння має корені . Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння .
У заданому рівнянні , звідки , яке не є коренем характеристичного рівняння. Тому шукаємо частинний розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді: .
Обчислимо похідні та підставимо в задане рівняння:
.
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях змінної, тоді та . Остаточно, загальний розв’язок рівняння має вигляд: .
Приклад 22. Розв’язати задачу Коші
.
Характеристичне рівняння має корені . Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння . Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді: , тоді
.
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових тригонометричних функціях
, звідки .
Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд: .
Для розв’язання задачі Коші знаходимо: , тоді
; .
Приклад 23. Розв’язати диференціальне рівняння
.
Характеристичне рівняння має корені . Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння .
У даному рівнянні , тому, користуючись принципом накладання та враховуючи, що є простими коренями характеристичного рівняння., шукаємо частинний розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді: . Отже,
,
звідки
.
Остаточно маємо: .
Приклад 24. Розв’язати диференціальне рівняння .
Характеристичне рівняння має корені . Загальний розв’язок однорідного рівняння . Частинний розв’язок неоднорідного рівняння в даному випадку можна шукати у вигляді . Дійсно, відповідно до загальної теорії треба було б праву частину заданого рівняння представити у вигляді та застосувати принцип накладання, тоді частинний розв’язок належало б шукати у вигляді , але
Диференціюючи та підставляючи в початкове рівняння, одержимо:
,
звідки . Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд .