- •Раздел 1. Линейное программирование
- •1.1. Математическая постановка задачи
- •Формализация задачи
- •1.2. Графическое решение задачи
- •1.3. Каноническая форма задачи
- •1.4. Базис и базисное решение
- •1.5. Табличный симплекс-метод (симплекс-алгоритм)
- •Шаг 7. Симплексные преобразования таблицы.
- •Анализ ситуации
- •Анализ ситуации:
- •1.6. Двойственная задача лп
- •Задание
- •1.7. Транспортная задача
- •1.8. Целочисленная задача лп
- •1.9. Задачи и вопросы для практических работ
1.9. Задачи и вопросы для практических работ
Задача 1. Производственная программа фирмы представлена в виде задачи при ограничениях , ; , .
а) Построить каноническую форму задачи;
б) построить область допустимых решений и линии уровня целевой функции.
в) найти графическое решение задачи и обосновать его оптимальность
г) оценить в отдельности влияние на оптимальное решение задачи коэффициентов целевой функции, технологических параметров и величин ресурсов.
Задача 2. Оптимизируемый объект описывается с помощью задачи
,
,
,
.
а) Построить каноническую форму задачи;
б) найти все тройки линейно зависимых векторов матрицы расширенной задачи;
в) построить всевозможные базисы расширенной задачи, вычислить базисные решения и построить соответствующие вершины расширенного пространства решений
г) решить задачу с помощью табличного симплекс-метода, выделив все промежуточные базисы, базисные решения, текущие варианты.
д) оценить выбор максимальной симплекс – разности на ход алгоритма.
Задача 3. Построить двойственную задачу оптимизируемого объекта, описанного в задаче 2 и найти ответы на следующие вопросы:
а) в каком виде присутствует решение двойственной задачи в последней (оптимальной) таблице прямой задачи?;
б) проверить равенство целевых функций прямой и двойственной задач;
в) проверить, выполняются ли условия дополняющей нежесткости Слейтера для прямой и двойственной задач?;
г) убедиться в том, что двойственные переменные связаны с последним оптимальным базисом прямой задачи соотношением или в эквивалентной форме , где - оптимальный базис, - вектор коэффициентов при оптимальных базисных переменных.
Задача 4. Задача линейного программирования представлена в виде: максимизировать функцию при ограничениях , , .
а) Построить графическую картину задачи и найти ее решение;
б) построить расширенную задачу и найти всевозможные начальные базисы и базисные решения;
в) начиная с единичного базиса, иллюстрировать все этапы рекуррентной формулы и найти оптимальное решение задачи;
г) в координатной плоскости показать проекции всех направлений движения, величин шагов, вершин расширенной области, в том числе и оптимальную вершину;
д) оценить вычислительную (или алгоритмическую) сложность табличного и рекуррентного алгоритмов симплекс-метода.
Ответ: .
Задача 5. Найти начальный базис задачи линейного программирования
(D, f): ,
,
,
,
,
используя метод искусственных переменных.
Задача 6. Найти все целочисленные решения задачи
,
, - целые
с помощью метода ветвей и границ. Построить и проанализировать соответствующее дерево решений и оценить альтернативные варианты ветвления.
Задача 7. Решить задачу целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ
(D, f): ,
, - целые
Построить всевозможные деревья решений и дать графическую иллюстрацию процесса ветвления.
Задача 8. Производственный план, отвечающий ограничениям , , , должен максимизировать критерии , . Исследовать этот план, ответив на следующие вопросы:
а) графически найти локальные оптимальные решения данной задачи;
б) показать области допустимых решений и оценок, а также подмножества оптимальных по Парето решений и соответствующую эффективную границу ;
в) задаваясь различными значениями коэффициентов важности , , найти графическим путем экстремум скалярной функции и исследовать влияние и на оптимальное решение;
г) выбрать одну из целевых функций в качестве главной и найти оптимальное решение при различных ограничениях для значений другой функции;
д) графически найти точку , расположенную наиболее близко к точке где и наибольшие значения координат и . Как выглядит точка , которая находится на минимальном расстоянии от “утопической” точки , где и - наибольшие значения критериев и на множестве D.
Задача 9. Проектируемый объект и критерий качества его функционирования представлены в виде модели оптимизируемой задачи
.
а) Применить метод множителей Лагранжа по отношению к этой и двойственной ей задачам и найти соответствующие условия теоремы Куна – Таккера;
б) графическим способом найти соответствующие оптимальные решения и проверить выполнение условий двойственности;
в) интерпретировать физический смысл переменных прямой и двойственной задач и убедиться в справедливости условий , j = 1,2; , i = 1, 2, где L – соответствующая функция Лагранжа исходной задачи.