Задание

Прямая задача имеет вид

.

x₁ + 5x₂ ≤ 15

4x₁ + x₂ ≤ 24

а) Найти решение задачи графически и табличным симплекс- методом.

б) Составить двойственную задачу и найти ее графическое решение.

в) Проверить справедливость всех условий двойственности.

г) Дать экономическую интерпретацию двойственных переменных.

1.7. Транспортная задача

Математическая модель транспортной задачи (ТЗ) имеет вид

. (7.1)

Содержательно параметры этой задачи можно интерпретировать следующим образом: а_i - наличные объемы товаров (или грузов) в пунктах отправления A_i, i = 1, …, m; b_j – величина спроса в пунктах назначения (пункты потребления) B_j, j = 1, …, n; x_ij – объемы перевозки из пункта отправления A_i в пункт назначения B_j,i,j; c_ij – затраты, необходимые для перевозки одной единицы товара по маршруту (i, j) i,j; f(x) – функция суммарных затрат (целевая функция).

Целью решения задачи является нахождение такого плана перевозки {x_ij}, который удовлетворяет ограничениям и минимизирует функцию затрат. В этой задаче выполняется условие баланса: сумма наличных товаров равна величине суммарного спроса. Таким образом, в задаче имеется mxn переменных x_ij и m + n - 1 независимых ограничений.

Решим задачу с помощью метода потенциалов (метод северо-западного угла). Исходные данные удобно представить в виде транспортной таблицы, приведенной ниже. В ней а = (15, 25, 10)^Т – вектор предложения, b = (5, 15, 15, 15)^Т – вектор спроса, условие баланса соблюдается. В северо-восточном углу ячеек таблицы указаны затраты, а в юго-западном углу ячеек – переменные задачи. Строки таблицы соответствуют пунктам предложения А_i столбцы – пунктам назначения В_j.

Таблица Т₀

	1	2	3	4
1	10 x11	2 x12	20 x13	11 x14	15
2	12 x21	7 x22	9 x23	20 x24	25
3	4 x31	14 x32	16 x33	18 x34	10
	5	15	15	15

Напомним, что последовательность шагов алгоритма решения транспортной задачи с помощью метода потенциалов в точности повторяет последовательность этапов симплекс – алгоритма.

Этап 1. Определить начальное допустимое базисное решени;

Этап 2. На основе условия оптимальности симплекс-метода среди всех небазисных переменных определить вводимую в базисное решение новую переменную; если все небазисные переменные удовлетворяют условию оптимальности, завершить вычисления, в противном случае передать управление следующему шагу;

Этап 3, С помощью условия допустимости симплекс - метода среди текущих базисных переменных определить исключаемую переменную, затем найти новое базисное решение и осуществить возвращение ко второму шагу.

Этап 1: определение начального базисного решения.

Существуют три способа нахождения начального базисного решения: метод северо-западного угла, метод наименьшей стоимости, метод Фогеля.

Сущность метода потенциалов сводится к следующему.

а) Переменной x₁₁ присваивают максимальное значение, допустимое ограничениями на спрос и предложение (в нашем случае - x₁₁ = 5);

б) Вычеркивается строка (или столбец) с полностью реализованным предложением (с удовлетворенным спросом). В этой строке (столбце) мы не будем присваивать значения остальным переменным. Если одновременно удовлетворяется спрос и предложение, вычеркиваются только строка или столбец;

в) Если не вычеркнута только одна строка или только один столбец, процесс останавливается; в противном случае переходим к ячейке справа, если вычеркнут столбец, или к нижележащей ячейке, если вычеркнута строка. Затем возвращаемся к пункту а).

Так как в задаче m + n - 1 независимых ограничений, следовательно, начальное базисное решение состоит из m + n - 1 базисных переменных. По нашим данным, в результате действия пунктов а) – в) получим x₁₁ = 5, x₁₂ = 10, x₂₂ = 5, x₂₃ = 15, x₂₄ = 5, x₃₄ = 10. Именно это начальное базисное решение и присутствует в таблице Т₁.

Таблица Т₁

	1	2	3	4
1	1 0	2	20	11	15
2	12	7	9	2 0	25
3	4	14	16	1 8	10
	5	15	15	15

Этап 2: определение вводимой и выводимой переменных по правилам симплексных преобразований.

В методе потенциалов каждой строке i и каждому столбцу j транспортной таблицы ставятся в соответствии числа (потенциалы) u_i и v_j, причем, для каждой базисной переменной x_ij эти потенциалы определяются из условий

u_i + v_j = cij. (7.2)

В данной задаче имеются 6 базисных переменных и 7 неизвестных потенциалов. Чтобы найти значения потенциалов из этой системы уравнений, нужно присвоить одному из них произвольне значение (обычно полагают u₁ = 0) и затем последовательно вычисляют значения остальных потенциалов.

Для базисных переменных:

x₁₁: u₁ + v₁ = 10; u₁ = 0, v₁ = 10;

x₁₂: u₁ + v₂ = 2; u₁ = 0, v₂ = 2;

x₂₂: u₂ + v₂ = 7; u₂ = 5, v₂ = 2;

x₂₃: u₂ + v₃ = 9; u₂ = 5, v₃ = 4;

x₂₄: u₂ + v₄ = 20; u₂ = 5, v₄ = 15;

x₃₄: u₃ + v₄ = 18; u₃ = 3, v₄ = 15.

Таким образом, u₁ = 0, u₂ = 5,u₃ = 3,v₁ = 10, v₂ = 2, v₃ = 4, v₄ = 15. Далее, используя вычисленные значения потенциалов, для каждой небазисной переменной вычисляются так называемые индексы по формуле

И_ij = u_i + v_j - c_ij. (7.3)

Для небазисных переменных:

x₁₃: u₁ + v₃ - c₁₃ = 0 + 4 – 20 = -16;

x₁₄: u₁ + v₄ - c₁₄ = 0 + 15 - 11 = 4;

x₂₁: u₂ + v₁ - c₂₁ = 5 + 10 - 12 = 3;

x₃₁: u₃ + v₁ - c₃₁ = 3 + 10 - 4 = 9:

x₃₂: u₃ + v₂ - c₃₂ = 3 + 2 - 14 = -9:

x₃₃: u₃ + v₃ - c₃₃ = 3 + 4 - 16 = -9.

Вычисленные значения индексов, вместе с нулевыми их значениями для базисных переменных (поскольку u_i + v_j - c_ij = 0 для любой базисной переменной х_ij) фактически являются коэффициентами так называемой Z – строки симплекс-таблицы (ее индексная строка). Представим их в виде

Индексная строка

базис	x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34
Z	0 0 -16 4 3 0 0 0 -9 -9 0

Поскольку в транспортной задаче целевая функция минимизируется, вводится в базисное решение переменная c наибольшим положительным коэффициентом в Z - строке. В данном случае вводимой переменной будет x₃₁. Все описанные выше вычисления обычно выполняются непосредственно в транспортной таблице, начиная с u₁ = 0, как это показано в таблице

Таблица Т₂

	V1=10	V2=2	V3=4	V4=15
U1=0	10 5	2 10	20 -16	11 4	15
U2=5	12 3	7 5	9 15	20 5	25
U3=3	4 9	14 -9	16 -9	18 10	10
	5	15	15	15

Итак, переменная x₃₁ вводится в базисное решение. Вопрос о том, какая переменная должна быть выведена из базисного решения (которая примет нулевое значение), решается следующим образом. Необходимо, чтобы перевозки по маршруту x₃₁ уменьшили общую стоимость перевозок. Для этой цели присвоим переменной x₃₁ некоторое значение x₃₁ = . Максимально возможное значение  определяется из следующих условий:

а) должны выполняться ограничения по спросу и предложению;

б) ни по какому маршруту не должны выполняться перевозки с отрицательным объемом грузов.

Построим замкнутый цикл, который начинается и заканчивается в ячейке (3,1). Цикл состоит из горизонтальных и вертикальных отрезков, соединяющие ячейки, соответствующие текущим базисным переменным, и ячейку, соответствующую вводимой переменной. Для любой вводимой переменной можно построить только один замкнутый цикл. Эти действия приведены в Т₂.

Таблица Т₃

	V1=10	V2=2	V3=4	V4=15
U1=0	10 5	2 10	20 -16	11 4	15
U2=5	12 3	7 5	9 15	20 5	25
U3=3	4 9	14 -9	16 -9	18 10	10
	5	15	15	15

Теперь найдем . Для того чтобы удовлетворить ограничениям по спросу и предложению, надо поочередно отнимать и прибавлять  к значениям базисных переменных, расположенных в угловых ячейках цикла, как показано в таблице Т₃. При этом, не имеет значения направление обхода цикла: по часовой стрелке или против. Значения  должны отвечать условиям

x₁₁ = 5 -  ≥ 0;

x₂₂ = 5 -  ≥ 0;

x₃₄ = 10 -  ≥ 0,

откуда следует, что наибольшее значение  = 5. При этом будет иметь место x₁₁= x₂₂ =0. Из этих (теперь уже нулевых) переменных можно выбрать либо x₁₁, либо x₂₂ для исключения из базисного решения. Выберем для исключения переменную x₁₁.

Стоимость начального базисного решения составляет Z = 5х10 + 10х2 + 5х7 + 15х9 + 5х20 + 10х18 = 520 ед. Теперь суммарная стоимость перевозок будет на 9х5 = 45 единиц (9 = u₃+v₁ - c₃₁) меньше, т.е. 520 – 45 = 475 ед.

Определив x₃₁ = 5 и выбрав исключаемую переменную х₁₁, далее следует откорректировать значения базисных переменных, соответствующих угловым ячейкам замкнутого цикла: х₁₂ = 15, х₂₂ = 0, х₂₃ = 15, х₂₄ = 10, х₃₁ = 5, х₃₄ = 5. Скорректированные значения базисных переменных содержатся в таблице Т₄.

Теперь имеется новое базисное решение и улучшенное значение функции затрат, поэтому следует повторить вычисление потенциалов, т.е. перейти к этапу 2.

В таблице Т₄ представлены новые значения потенциалов, согласно которым новой вводимой в базис переменной будет x₁₄. По замкнутому циклу находим x₁₄ = 10 и исключаемую переменную x₂₄. Суммарные издержки теперь уменьшаются на величину 4х10 = 40 ед. (4 = u₁ + v₄ - c₁₄), т.е. 475 – 40 = 435 ед.

Результаты новой итерации представлены в таблице Т₅. Теперь новые значения величин u_i + v_j - c_ij для всех небазисных переменных x_ij отрицательные, что и является признаком оптимальности найденного базисного решения.

Таблица Т₄

	V1=1	V2=2	V3=4	V4=15
U1=0	10 -9	2 1 5-	20 -16	1 9  4	15
U2=5	12 -6	7 0+	9 1 5	2 0 10 - 	25
U3=3	4 5	14 -9	16 -9	18 5	10
	5	15	15	15

Базисное Решение х₁₂ = 5, x₁₄ = 10, x₂₂ = 10, x₂₃ = 15, x₃₁ = 5, x₃₄ =5, составляет оптимальную искомую стратегию, а величина ед. составляет минимальные издержки.

Таблица Т₅

	V1= –3	V2=2	V3=4	V4=11
U1=0	10 -13	2 5	20 -16	11 10	15
U2=5	12 -10	7 10	9 15	20 -4	25
U3=7	4 5	14 -5	16 -5	18 5	10
	5	15	15	15

В заключение этого раздела отметим, что, так как метод потенциалов интерпретируется как симплекс-метод, то можно построить двойственную транспортную задачу. Она имеет вид:

максимизировать целевую функцию

(7.4)

при ограничениях

, (7.5)

где u_i, v_j – свободные переменные: u_i – двойственная переменная, соответствующая ограничению на предложение пункта отправления i; v_j – двойственная переменная, соответствующая ограничению на спрос пункта j.

Представим эту задачу в более привычной форме

 (7.6)

,