Раздел 1. Линейное программирование

1.1. Математическая постановка задачи

В наиболее общей форме математическая постановка задачи линейного программирования (ЛП) имеет вид

(D, f) : , (1.1)

i=1,…,m

x_j ≥ 0

или в матричной форме

(D,f) : , (1.2)

Ax ≤ b

x_j ≥ 0

где х = (х₁, …, х_п)^Т – вектор переменных задачи, f(x) целевая функция, D – множество допустимых решений. Целью задачи является нахождение такого вектора х^* из D, который либо максимизирует, либо минимизирует целевую функцию, т. е. f(x^* )  f(x)  х D (в случае максимума) или f(x^* )  f(x)  х D (в случае минимума). Такие решения называются оптимальными.

Отметим ряд характерных особенностей (или свойств) задачи линейного программирования, которые лежат в основе алгоритма ее решения.

а) Множество допустимых решений D, если оно не пусто, то обязательно выпукло и либо ограничено (по расстоянию), либо не ограничено;

б) Множество D представляет собой многогранное множество (или выпуклый многогранник), имеющее вершины (их число ограничено – см. раздел 3), боковые ребра и боковые грани;

в) Линии уровня целевой функции представляют собой параллельные плоскости (или гиперплоскости), перпендикулярные направлению вектора коэффициентов с; направление вектора с определяет направление возрастания значения целевой функции f(x), а его обратное направление – направление убывания значения f(x);

г) Если множество D ограничено, то целевая функция достигает на нем и своего максимального значения, и минимального значения как следствие центральной теоремы математического анализа – теоремы Вейерштрасса.

е) Если задача имеет оптимальное решение, то оно находится по крайней мере в одной из вершин множества D; задача может не иметь оптимальное решение из-за неограниченности множества D, когда целевая функция на нем неограниченно возрастает или убывает;

ж) Алгоритм решения задачи представляет собой последовательность действий, связанных с генерацией вершин множества D и проверкой правила оптимальности (правила завершения работы).

Пример 1. Планирование многопродуктового производства. По данным маркетинговых исследований рынка фирма решила производить п видов товаров. Известны рыночные цены на производимые товары и услуги, а также объемы необходимых для производства ресурсов (производственные факторы). Необходимо определить такие объемы производимых товаров (уровни или интенсивности производства), которые отвечают ограничениям задачи по ресурсам и максимизируют суммарный доход фирмы от реализации продукции.

Для построения математической модели задачи введем следующие обозначения:

а) переменные задачи - x_j, j = 1,…, n, - искомые объемы производимых товаров;

б) ограничения задачи –

, i = 1,…, m,

x_j ≥ 0, j=1,…, n,

где b_i, i = 1,…, m, - имеющиеся в распоряжении фирмы ресурсы (основные фонды, трудовые ресурсы и т.д.), а_ij, i = 1, …, m, j = 1, …, n, - технологические нормы расходования единиц ресурсов i – го типа на производство одной единицы продукции j – го типа;

в) целевая функция – функция дохода

.

Цель задачи заключается в нахождении такого вектора х^* = (х₁^* , …, х_п^*)^Т, который удовлетворяет ограничениям задачи и максимизирует функцию f(x).

Ниже мы рассмотрим решение этой задачи при конкретных числовых данных.

Пример 2. Фирма производит определенный вид продукции, рыночная цена которой равна 20 ден. ед. Имеется 3 способа изготовления продукции (3 технологии), каждый из которых характеризуется своим уровнем затрат рабочего и машинного времени, а также сырья на единицу продукции. Эти удельные затраты представлены в следующей таблице

Таблица исходных данных

Способ изготовления	Затрат рабочего времени	Затрат машинного времени	Затрат сырья
Т1	2	4	2
Т2	2	3	3
Т3	4	2	1

Рабочее время оплачивается в размере 3 ден.ед./ч., сырье стоит 4 ден.ед./кг, стоимость машинного времени несущественна. Имеются следующие ограничения на ресурсы в расчете на сутки: рабочее время – 24 часа, машинное время – 12 часов, сырье –18 кг. Необходимо определить, сколько продукции следует произвести каждым из способов (технологий), чтобы максимизировать прибыль?

Формализация задачи

а) переменными задачи являются x₁, x₂, x₃ ≥ 0 - число единиц продукции, изготовленной первым, вторым и третьим способами соответственно;

б) ограничения на ресурсы:

2x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≤ 24 (рабочее время),

4x₁ + 3x₂ + 2x₃ ≤ 12 (машинное время),

2x₁ + 3x₂ + x₃ ≤ 18 (сырье);

в) функция прибыли:

прибыль на единицу продукции, произведенной первым способом (технологией) составляет по условию 20 – (2*3+2*4) = 6 ден.ед., вторым способом (технологией) 20 – (2*3+3*4) = 2 ден.ед., третьим способом (технологией) 20 – (4*3+1*4) = 4 ден.ед., так что

.

Математическая постановка задачи имеет вид

.

(x₁, x₂, x₃₎

2x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≤ 24

4x₁ + 3x₂ + 2x₃ ≤ 12

2x₁ + 3x₂ + x₃ ≤ 18

Пример 3. Фирма производит два вида краски для внутренних и наружных работ из сырья двух типов: М1 и М2. Расход сырья (в тоннах) на тонну краски каждого типа представлены в следующей таблице:

Таблица исходных данных

З атраты Сырье	Для наружных работ	Для внутренних работ	Максимальный ежедневный расход
М1	6	4	24
М2	1	2	6

Максимально возможный ежедневный расход сырья составляет 24 и 6 тонн каждого.

Определить оптимальные объемы выпускаемой продукции для максимизации общего ежедневного дохода, если доход каждой тонны наружной и внутренней краски составляет 5000 и 4000 ден.ед.