Раздел 3. Сведения из математического анализа и линейной алгебры

3.1. Множества и действия над ними

Множество. Множество есть любая совокупность объектов, называемых элементами или точками. Множество А, состоящее из элементов a, b, c,…, представляется в виде

А = {a, b, c,…}, a, b,… А;

Если множество В является подмножеством А, то это отношение записывается в виде В А; Множество можно определить с помощью некоторого общего для его элементов свойства, представленного в виде P(x):

А = {x X / P(x)};

Над множествами выполняются следующие действия:

а) суммирование и вычитание множеств:

С = c_j = a_j  _bj , j = 1, 2, …;

б) равенство множеств: A = B  a_j = b_j , j = 1, 2, …;

в) объединение множеств A и B – это множество точек, принадлежащих каждому из них (или обоим множествам). Действие объединения обозначается как

C = A  B = {х C /x  A или х B};

г) пересечение множеств A и B – это множество точек, которые принадлежат обоим множествам одновременно. Действие пересечения обозначается как

С = A  B = {х C /x  A и х B};

д) декартово произведение множеств А и В – это множество упорядоченных пар элементов А и В. Декартово произведение обозначается как :

= {( a_{j ,} b_j )/ a_j  А, b_j  В, j = 1, 2, …};

Аналогично определяется декартово произведение множества А самого на себя и обозначается в виде

= {( a_{j ,} b_j )/ a_j, b_j  А, j = 1, 2, …};

Под E^п подразумевается множество всех упорядоченных наборов из п вещественных чисел или геометрически - п – мерное евклидово пространство. В частности, Е² – множество всех упорядоченных пар вещественных чисел или геометрически – множество всех точек евклидовой плоскости; Е³ – трехмерное евклидово пространство и т.д. Мы будем использовать для них обозначение

Е^п = {x / x = (x₁…,x_п)^Т, },

где через Е обозначено множество точек, принадлежащих числовой прямой (числовая ось).

3.2. Отношения и функции

Отношение. Под (бинарным) отношением , определенным (или заданным) на декартовом произведении множеств Х и У, подразумевается подмножество   XY, в котором для любых фиксированных элементов и выполняется предложение   ху. Примерами отношений, определенных на множестве Е², являются хорошо знакомые нам отношения «=», «>», «<», « ≥», и т.д.

Важнейшими свойствами (бинарных) отношений являются:

- рефлексивность: x x;

- иррефлексивность: x x не имеет место:

- антирефлексивность: если x у, то х  у ;

- симметричность: если x y, то y x;

- асимметричность: если x y, то y x не имеет место;

- антисимметричность: если x y и y x, то x = y;

- транзитивность: если x y и y z, то x z ;

- отрицательная транзитивность: если не имеют место x y и Rz, то неверно и x z;

- сравнимость: элементы x и y сравнимы друг с другом в отношении , если имеют место либо x y, либо y x, либо и то и другое;

- полнота (связность):отношение  полно (или связно), если любые два элемента х и у сравнимы в отношении ;

Комбинация различных свойств отношения порождает специальные группы, которые встречаются в процедурах по выбору и принятию решений и управления. Так, например,

- рефлексивное, симметричное транзитивное отношение называется эквивалентностью;

- иррефлексивное и транзитивное, а потому и симметричное отношение называется строгим (частичным) порядком;

- рефлексивное и транзитивное отношение называется квазипорядком или

предпорядком;

- антисимметричный квазипорядок называется также (частичным) порядком.

Бинарное отношение, обладающее свойствами антирефлексивности и симметричности, известно как отношение доминирования.

В процедурах выбора и принятия решений наиболее важную роль играет отношение предпочтения. Именно с его помощью происходит выбор и обоснование наиболее предпочтительных проектных, плановых и/или управленческих решений в задачах, связанных с проектированием, созданием, эксплуатацией и совершенствованием современных систем и их компонентов.

Различают три типа отношения предпочтений:

- отношение нестрогого предпочтения – R;

- отношение строгого предпочтения – P (от англ. слова preference – предпочтение);

- отношение безразличия – I ( от англ. слова Indifference – безразличие). Эти три отношения, связанные друг с другом соотношениями R = PI, I = RP, P = R\R^-1, имеют следующую содержательную интерпретацию:

- хRу – «х не менее предпочтительно, чем у»;

• хPу – «х строго предпочтительнее, чем у»;

• хIу – «х и у одинаково предпочтительны».

В общем случае отношения R, P и I не является транзитивным. Но если R транзитивно, то транзитивными оказываются и P и I. В этом случае R является квазипорядком, P - строгим порядком, а I - эквивалентностью.

Над отношениями также определены все теоретико-множественные преобразования, в частности: операция вложения R₁  R₂; операция дополнения АА\ R; операция пересечения R₁  R₂; операция объединения R₁  R₂; операция обращения R ^–1(xR^-1y  yR x); операция двойственности R^d (R^d – дополнение к обратному отношению R^-1). Более подробные сведения о бинарных отношениях и их применениях можно найти в работе (Саркисян, 2002). Важным частным случаем отношения является функция.

Функция. Отношение f, определенное на декартовом произведении множеств Х и У, называется функцией, если при любом x существует единственный элемент y , такой, что хf y, или что эквивалентно, (х, y) f, что имеет место тогда и только тогда, когда y = f(x). При этом множество Х называется областью определения функции, множество У – областью значений функции, а множество {yY/ y = f(x) при некотором x X} - образом функции y = f(x), представляющим множество точек области значений, которое можно получить, используя данную функцию.

Отображение. Функция называется «отображением на», если ее образ совпадает с областью значений

Взаимно однозначная функция. Функция называется взаимно однозначной, если две различные точки никогда не отображаются ею в одну и ту же точку, другими словами, равенство f(x₁ )= f(x₂) имеет место тогда и только тогда, когда x₁ = x₂.

Если функция y = f(x) представляет собой взаимно однозначное отображение на, то существует обратная функция f^-1(y), такая, что, если f^-1(y) = х, то имеет место y = f(x).

Вещественная функция. функция y = f(x) называется вещественной (или вещественнозначной), если ее областью значений является вещественная прямая Е (множество вещественных чисел).

Функция п переменных. Вещественная функция называется функцией п переменных, если она определена на п - мерном евклидовом пространстве Е^п. Для такой функции применяется обозначение y = f(x)= f(x₁, х₂, …, х_п).

Функционал. Функционалом называется вещественная функция, которая определена на некотором множестве функций, другими словами, областью определения функционала служит некоторое множество функций.

Точечно-множественное отображение. Точечно-множественным отображением или соответствием называется функция, которая отдельным точкам ставит в соответствие множества.