Завдання №7

За допомогою методу множників Лагранжа визначити стаціонарні точки функції цілі і класифікувати їх.

1. F(x1,x2)=-x1x2 +x1x3 –2x2x3+x1 –5 при обмеженнях: x1+x2+x3=3 2x1+x2=5	11. F(x1,x2)=2x1х2+2x+4x1х2-3x3 при обмеженнях: 8x1-3x2+3x3=40 2x1+x2-x3=-3
2. F(x1,x2)=x12-x22+4x3 при обмеженнях: x1+2x2-3x3=3 2x1-x2+4x3=1	12. F(x1,x2)=x12-2x22+x32 при обмеженнях: 2x1-x2+x3=5 x1+x2+x3=3
3. F(x1,x2)=x12+x22+x32 при обмеженнях: x1+x2+x3=3 2x1-x2+x3=5	13. F(x1,x2)=3x22-11x1-3x2-x3 при обмеженнях: x1-7x2+3x3=-7 5x1+2x2-x3=2
4. F(x1,x2)= -2x12-x22-x32 при обмеженнях: x2+5x3=10 x1+x2=5	14. F(x1,x2)=x12+2x22+3x32 при обмеженнях: x1+2x2+x3=8 x1+x3=3
5. F(x1,x2)=x12+x22+x32 при обмеженнях: 2x1+x2=5 x1+x3=2	15. F(x1,x2)=x12+x22+3x32 при обмеженнях: x1+2x2+x3=16 x1+2x2=5
6. F(x1,x2)= -x12+x1x3-x22 при обмеженнях: 3x1+x2+x3=4 x1+2x2+2x3=3	16. F(x1,x2)= -3x12-x22+x2+7x3 при обмеженнях: 4x1+x2-2x3=5 2x2+x3=14
7. F(x1,x2)= -0.5x12-0.5x22+x1+2x3 при обмеженнях: x1+x2+x3=3 2x1-x2+x3=5	17. F(x1,x2)=x12+x22+x32 при обмеженнях: x1+2x2+3x3=7 2x1+2x2+x3=4.5
8. F(x1,x2) = = -4x12-6x22+8x1+44x2+2x1x2 при обмеженнях: x1+2x=10 2x1+x2=8	18. F(x1,x2)=2x12+x22+2x1x2-x1+6 при обмеженнях: -x1+x2= -1 2x1+x2=15
9. F(x1,x2)=x12+x22+x32 при обмеженнях: x1+ x2+x3=4 2x-3x2=12	19. F(x1,x2)=3x12+2x1+ 2x22+4x1x3 при обмеженнях: x1+2x2=19 x1+x3=11
10. F(x1,x2)=x12+x22+x32 при обмеженнях: 2x1+x2+x3=10 x1+2x3=4	20. F(x1,x2)=x12+x22+3x2x3 при обмеженнях: x1+2x2 =15 x1+2x2+x3=6

Теорія розкладу. Задача джонсона

Задачі подібного типу виникають у тому випадку, якщо є кінцевий набір робіт, що потребують виконання, набір механізмів для виконання існуючих робіт, а також обмеження на послідовність виконання робіт.

Відома тривалість виконання робіт і критерій оптимізації. В даний час найбільше вивченими вважаються моделі простих процесів обслуговування. Такі процеси мають наступні властивості:

1. Кожна машина може бути призначена на виконання роботи в будь-який момент часу.

2. Роботи представляють строго упорядковану послідовність операцій, причому для заданої операції існує не більш однієї безпосередньо наступної за ній і не більш однієї безпосередньо попередньої їй.

3. Кожна операція здійснюється тільки однією машиною, причому існує тільки по одній машині кожного типу.

4. Відсутність переривань операцій.

5. Одночасно не може реалізовуватися більш однієї операції однієї і тієї ж роботи.

Говорять, що задана задача теорії розкладів, якщо:

1. Задано підлягаючі виконанню роботи і порядок проходження в них операцій.

2. Відомі машини, що виконують операції і характеристики машин стосовно операцій.

3. Задано дисципліну обслуговування.

Система проходження робіт на машинах може бути конвеєрною {F}, випадковою {R}, довільною {G}. Кількість робіт, що одночасно надійшли, як правило, дорівнює n, а кількість машин дорівнює m. Тоді задача теорії розкладів може бути схематично сформульована одним з трьох видів:

n/m/F/z; n/m/R/z; n/m/G/z; де z - це критерій оцінки ефективності складеного розкладу.

Типовою задачею теорії розкладу є задача упорядкування розкладу технологічної лінії, яка складається з m верстатів, на яких необхідно обробляти комплекти деталей з n штук. Критерієм оптимальності розкладу є мінімальний час для обробки всіх n деталей, кожна з яких повинна послідовно пройти обробку на кожному верстаті. Ця задача відома як «задача Джонсона». Складність задачі Джонсона для m верстатів і n деталей полягає в переборі великої кількості можливих варіантів порядку обробки деталі і порівняння за тривалістю розкладу.

Постановка задачі:

Існує кінцева кількість робіт, що повинні бути виконані двома машинами, причому будь-яка робота може бути виконана другою машиною лише після того, як вона виконана першою машиною. Порядок виконання робіт на машинах довільний. Відомо час t_ij виконання j-ої роботи на i-ій машині. Необхідно визначити такий порядок робіт, при якому час завершення всіх робіт буде мінімальним.

Позначимо tnp_j як час простою другої машини перед виконанням j-ої роботи. Тоді час завершення виконання всіх робіт визначається виразом:

Нехай час виконання робіт задано у вигляді матриці 2n.

Алгоритм Джонсона:

1. Шукаємо в матриці найменший елемент, якщо їх декілька - вибираємо будь-який. Якщо мінімальний елемент розташований у першому рядку, то відповідна j-та робота ставиться на крайнє ліве, незайняте місце, в розкладі, що визначається. Якщо ж мінімальний елемент знаходиться в другому рядку, то робота ставиться на крайнє праве, незайняте місце в розкладі.

2. Виключаємо з вихідної матриці стовпець, що містить мінімальний елемент.

Кроки 1 і 2 повторюємо доти, поки не залишиться один стовпець у матриці й одне незайняте місце в розкладі.

При m  3 алгоритм Джонсона в наведеному виді використати не можливо. Але, якщо m = 3 або n = 4, загальна кількість варіантів може бути зменшеною з урахуванням ствердження: оптимальний план задачі Джонсона довільної розмірності може бути досягненим на множині допустимих планів, в якій послідовність запуска деталей на першому станку співпадає з послідовністю запуска деталей другого станка,..., послідовність запуска деталей на останньому станку – з послідовністю на передостанньому. Тому алгоритм 2-х машин можливо використати для 3-х у випадку, коли min t_1j  max t_2j або min t_1j  max t_2j. Тоді оптимальне рішення знаходиться по перетвореним рядкам матриці 3n, які складаються по правилу: t_4j = t_1j + t_2j, t_5j = t_2j + t_3j.

i j	1	2	3	4	5
t1j	8	12	9	8	7
t2j	7	6	4	6	4
t3j	5	13	8	9	4
t4j	15	18	13	14	11
t5j	12	19	12	15	8
опт. план	4	2	3	1	5

Розглянемо рішення задачі Джонсона для n=3

t1j
	8	12		9						8				7
t2j
	8	6	6	6				3		4		4		7		4
t3j
	14		9				3	13							8		5		4
tпр
	14		6					3

T=17+39=56 Час простою першої машини 21 година, другої – 17 машин.