Транспортна задача

Важливим окремим випадком задачі лінійного програмування є транспортна задача.

Постановка задачі: Існує n пунктів виробництва однорідного продукту і m пунктів його використання. Відомі об'єми виробництва й об'єми використання в кожному описаному пункті. Визначено матрицю перевезень (витрат або тарифів на перевезення) одиниці продукції з кожного пункту виробництва в кожний пункт споживання. Необхідно скласти план перевезень із пунктів виробництва в пункти споживання таким чином, щоб був цілком задоволений попит на продукцію, а витрати на перевезення були мінімальними.

Математична модель задачі має вигляд:

Нехай x_ij це об'єм продукції що перевозиться з i-го пункту виробництва в j-й пункт споживання, тоді функцією цілі, буде функція сумарних витрат на перевезення всієї продукції.

min

Обмеження:

Транспортна задача є збалансованою, якщо сумарний попит дорівнює сумарній пропозиції.

ai – загальний об'єм виробництва на і-му пункті виробництва

bj – загальний об'єм споживання j-го пункту споживання

Для рішення транспортної задачі на початку необхідно вибрати припустиме рішення одним з методів із методів північно-західного кута, мінімального елемента, Фогеля, а далі це рішення перевірити на оптимальність методом потенціалів.

Є три постачальники і чотири споживачі однорідного продукту. Потужності постачальників і попити споживачів, а також витрати на перевезення одиниці вантажу для кожної пари «постачальник-споживач» зведені в таблицю постачань.

У кожній клітині таблиці записано коефіцієнт витрат (тариф) на перевезення одиниці вантажу від i-го постачальника до j-го споживача, наприклад, у клітині (1,4) стоїть число 3, отже, перевезення одиниці вантажу від 1-го постачальника до 4-го споживача обійдеться в 3 умовних одиниці.

		Споживачі				Потужність постачальників
		1	2	3	4
постачальники	1	1	2	5	3	60
	2	1	6	5	2	120
	3	6	3	7	4	100
Попит		20	110	40	110	280

Задача у наступному: знайти об'єми перевезень для кожної пари «постачальник-споживач» так, щоб:

1. потужності всіх постачальників були реалізовані;

2. попити всіх споживачів були задоволені;

3. сумарні витрати на перевезення були мінімальні.

Поставлено збалансовану транспортну задачу, оскільки сумарний попит дорівнює сумарній потужності постачальників  280.

Існує декілька методів отримання начального плану перевезень, що описані у методичних вказівках до виконання практичних робіт з курсу “Методи оптимізації”. Скористаємось методом мінімального елемента.

Для покращення будемо використовувати таблицю, в правому верхньому кутку якої стоїть тариф відповідного перевезення, а в лівому нижньому кутку – плановий об`єм перевезення.	1		2		3		4		aj
1		1		2		5		3	60
2		1		6		5		2	120 100
	20
3		6		3		7		4	100
bi	20		110		40		110

Знаходимо в таблиці клітини з найменшим тарифом. Таких клітин дві- (1,1) і (2,1) із тарифом, рівним 1. Порівнюємо максимально можливі постачання для цих клітин: для клітини (1,1) x₁₁=min{60,20}=20, для клітини (2,1) x₂₁=min{120,20}=20. Оскільки їх значення збігаються, то максимально можливе постачання записуємо в будь-яку з них. Наприклад, записуємо постачання, рівне 20 од. у клітину (2,1). У результаті попит першого споживача задоволений і перший стовпець таблиці постачань випадає з наступного розгляду, а виробничу потужність для другого рядка зменшуємо на 20 од. Аналогічним способом продовжуємо заповнювати не викреслені клітини таблиці. В останній клітині попит і пропозиція повинні збігтися, оскільки розглядається збалансована задача. Слід зазначити, що в таблиці повинна бути заповнена n+m-1 клітина перевезень

( де n - число постачальників, m- число споживачів ).

Наприклад, для розглянутої задачі повинно бути заповнено 3+4-1=6 клітин. Остаточно одержуємо початковий опорний план перевезень. Тепер скористаємося методом потенціалів. Для цього кожному стовпцю припишемо потенціал vj		1		2		3		4		Ai
		V1		V2		V3		V4
1	U1		1		2		5		3	60
				60
2	U2		1		6		5		2	120
		20						100
3	U3		6		3		7		4	100
				50		40		10
bj		20		110		40		110

потенціал v_j , а кожному рядку - потенціал u_i. Для кожної заповненої клітини складемо лінійне рівняння за правилом u_i+v_j=c_ij, де c_ij - тариф відповідного перевезення. Потім вирішимо систему 6-ти рівнянь. Оскільки в рівняннях буде 7 невідомих (3 потенціали u і 4 потенціали v), то довільний потенціал можна дорівняти до нуля.

Тепер для кожної незаповненої клітини необхідно знайти оцінку _ij= ui+vj-cij. Якщо всі оцінки будуть негативним або нульовими, то початковий опорний план є оптимальним.

₁₁=-1+3-1=2; ₁₃=-1+7-5=1; ₁₄=-1+4-3=0; ₂₂=-2+3-6= -5; ₂₃=-2+7-5=0; ₃₁=0+3-6= -3. Оцінки ₁₁ і ₁₃ позитивні, отже, отримане початкове опорне рішення не оптимальне. З оцінок вибираємо найбільшу - ₁₁, отже, у клітину (1,1) будемо заносити ненульове перевезення. Заносимо в клітину (1,1) знак «+» і будуємо ланцюг потенціалів, що може проходити тільки по заповнених клітинах, із чергуванням знаків «+» і «-» і повертається у вихідну клітину.

Cеред клітин, позначених мінусом, вибираємо ту, що містить найменше перевезення. У подальших обчисленнях ця клітина буде вважатися порожньою. Далі вміст обраної клітини додаємо до вмісту клітин, що позначені «+», і віднімаємо з клітин, що позна-		1		2		3		4		ai
		V1		V2		V3		V4
1	U1		1		2		5		3	60
		+		- 60
2	U2		1		6		5		2	120
		- 20						+ 100
3	U3		6		3		7		4	100
				+ 50		40		- 10
bj		20		110		40		110

чені «-».У таблиці повинна виявитися, як і раніше, n+m-1 заповнена клітина.

Перевіряємо отриманий опорний план на оптимальність.

₁₃=1; ₁₄=-1; ₂₂= -4; ₂₃=1;

₃₁= -4; ₃₄= -1

		1		2		3		4		ai
		V1		V2		V3		V4
1	U1		1		2		5		3	60
		10		- 50		+
2	U2		1		6		5		2	120
		10						110
3	U3		6		3		7		4	100
				+ 60		- 40
bj		20		110		40		110

Оскільки дві позитивні оцінки набувають однакових позитивних значень, то можна занести ненульове перевезення або в клітину (1,3), або в клітину (2,3).

Перевіряємо отриманий опорний план на оптимальність. 14= -1; 22= -4; 23= 0; 31= -4; 33= -1; 34= -1		1		2		3		4		ai
		V1		V2		V3		V4
1	U1		1		2		5		3	60
		10		10		40
2	U2		1		6		5		2	120
		10						110
3	U3		6		3		7		4	100
				100
bj		20		110		40		110

Оскільки серед оцінок немає позитивних, можна сказати, що отриманий опорний план є оптимальним, але не єдиним (₂₃= 0).

У підсумку підприємствам можна запропонувати наступний план перевезень:

При такому розподілі перевезень потужності всіх постачальників будуть реалізовані, попит усіх споживачів задоволений, сумарні витрати складуть:

ден. ед.