2.4. Числовые характеристики случайных величин

Для вероятностного описания СВ широко используются так же числовые характеристики и прежде всего такие как: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Математическое ожидание дискретной случайной величины m_x - это сумма произведений всех возможных значений СВ на вероятность этих значений:

.

(21)

Для непрерывных СВ с дифференциальной функцией распределения вероятностей f(x) математическое ожидание равно:

.

(22)

Дисперсия характеризует рассеивание СВ около математического ожидания m_x. Для дискретной СВ дисперсия находится согласно:

,

(23)

а для непрерывной:

.

(24)

Среднеквадратичное отклонение СВ имеет размерность математического ожидания и соответственно находится

.

(25)

Коэффициент вариации представляет собой отношение

νx = σx / mx.

(26)

Пример 6

Определить числовые характеристики случайных событий отказов пылевых вентиляторов по результатам их испытаний. Испытаниям продолжительностью в 1 год подвергается партия вентиляторов в количестве N = 100 единиц с условием немедленного восстановления их работоспособного состояния в случае отказов. На основании полученных данных вентиляторы группируются по признаку равного количества отказов x_і и рассчитываются вероятности их появления как p = x_і / N. Обработанные результаты испытаний представлены в табл. 2.

Таблица 2
количество вентиляторов ni	1	6	10	20	63
количество отказов xi	8	5	3	1	0
вероятность отказов pi	0,01	0,06	0,1	0,2	0,63

Согласно данным таблицы находятся числовые характеристики случайных событий отказов пылевых вентиляторов.

Математическое ожидание количества отказов:

Дисперсия количества отказов:

Среднеквадратичное отклонение:

Коэффициент вариации:

γ_x = σ_x /m_x =1,57 / 0,88 = 1,78.

3. Статистические характеристики показателей надёжности

3.1. Виды показателей надёжности

Для количественной оценки различных свойств надёжности используется ряд простых и комплексных показателей. К простым показателям относятся наработка на отказ, частота отказов, вероятность безотказной работы и среднее время восстановления.

Наработка на отказ Т_о – отношение наработки восстанавливаемого объекта к числу отказов за это время. Если Т_о определяется по результатам испытаний N объектов, каждый из которых имел наработку t_i и количество отказов n_i, то

(27)

Используется и обратная величина наработки на отказ λ, называемая интенсивностью отказов

λ = 1 / Т_о. (28)

Частота отказов ώ – оценивает число повреждений (выходов из строя) объектов в единицу времени и находится

(29)

где n_о – количество отказов; N – количество однотипных объектов; ∆t – период времени, обычно годовой, равный 8760 час.

Вероятность безотказной работы p(t) – характеризует вероятность того события, что в пределах заданной наработки t отказа объекта не возникнет.

p(t) = P(t' > t),

(30)

где t' - наработка от включения до первого отказа.

Можно пользоваться и обратной величиной g(t) - вероятностью того, что в пределах заданной наработки t произойдёт хотя бы один отказ.

g(t) = P (t' < t).

(31)

Показатели p(t) и g(t) используются для оценки безотказности объектов и их численные значения имеют определённый смысл лишь тогда, когда они поставлены в соответствие с заданной наработкой t, в течение которой возможно возникновение отказа.

Среднее время восстановления Т_в – представляет собой математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта. Если в процессе испытаний или работы N объектов установлено суммарное время простоев каждого объекта из-за отказов τ_i и при этом зафиксировано n_i отказов каждого объекта, то

(32)

Обратная величина среднего времени восстановления μ называется интенсивностью восстановления

μ = 1/ Т_В . (33)

Среднее время восстановления и интенсивность восстановления характеризуют ремонтопригодность объекта.

Комплексные показатели надёжности, к которым относятся коэффициенты готовности и технического использования, учитывают одновременно безотказность и ремонтопригодность объекта.

Коэффициент готовности К_г – характеризует вероятность того события, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени, кроме периодов, в течении которых использование объекта не предусмотрено.

Кг = То / (То + Тв).

(34)

Второй формой записи коэффициента готовности с использованием коэффициентов интенсивности отказов λ и восстановлений μ является

К_г= μ / (λ + μ). ( 35 )

Коэффициент технического использования К_ти – отличается учётом времени Т_пр простоя объекта при выполнении регламентных планово-предупредительных ремонтных работ и работ по техническому обслуживанию.

Кти = То / (То + Тв + Тпр).

(36)

Комплексные показатели К_г и К_ти удобно использовать для оценки производительности теплотехнического оборудования в установившемся режиме эксплуатации.

Пример 7

Определить простые и комплексные показатели надежности по следующим результатам наблюдений (табл.3) за эксплуатацией трёх котельных установок.

Таблица 3
порядковый номер установки N	наработка, ti, лет	количество отказов, ni	суммарное время ремонтов τi, дней
1	12	5	43
2	6	3	36
3	10	2	29

1. Наработка на отказ находится как отношение суммарной наработки котельных установок к общему числу отказов за этот период:

2. Среднее время восстановления находится как отношение суммарных затрат времени на ремонты котельных установок к общему числу их отказов.

3.Коэффициент готовности котельной установки:

4.Коэффициент технического использования:

где Тр.п.=15дней – регламентный простой котла на протяжении годового периода для выполнения технического обслуживания и планово-предупредительных ремонтов

Пример 8

Определить частоту ω и интенсивность отказов λ котла, если наработка его на отказ составляет Т_о=1400 ч.

ώ = 8760 / Т_о = 8760 / 1400 = 6,26 1 / год.

λ = 1/ Т_о = 1/1400 = 7,14 10^-4 ч^-1 .

Пример 9

Частота отказов котла составляет ώ= 6.26 1/год, а время восстановления Т_В =50 ч. Определить наработку на отказ Т_О и коэффициент готовности К_Г котла.

Т_О = 8760 / ω = 8760 / 6,26 = 1400 ч.

К_Г = Т_О / (Т_О + Т_В) = 1400 / (1400 + 50) = 0,965

Пример 10

Энергоблок характеризуется частотами отказов котла, турбины и электрогенератора: ώ₁₌ 6,26 1/ год, ώ₂ = 1.45 1/ год, ώ₃= 0,55 1/ год и соответствующим временем восстановления этих элементов: Т_В1= 50 ч, Т_В2= 45 ч,

Т_В3= 90 ч. Определить показатели надёжности для энергоблока в целом.

Частота отказов:

ώ =∑ώ_i = ώ₁+ ώ₂ + ώ₃ = 6,26 + 1,45 + 0,55 = 8,26 1/ год.

Наработка на отказ:

Т_o= 8760 /ώ = 8760/ 8,26 = 1060 ч.

Время восстановления:

Т_В = ∑ώ_i Т_Вi / ∑ώ_i = (ω₁Т_В1 +ω₂ Т_В2 + ω₃Т_В3) ∕ ω = (6,26∙50 +1,45∙45 + 0,55∙90)/8,26= 51,7 ч.

Коэффициент готовности энергоблока

К_Г = Т_О / (Т_О + Т_В) = 1069/(1069 + 51,7) = 0,954