4. Определение необходимого числа испытаний
При проведении тех или других испытаний необходимо знать, достаточно ил проведено испытаний или их необходимо увеличить. Для решения поставленной задачи необходимо знать относительную ошибку и доверительную вероятность, а также задаться коэффициентом вариации.
Абсолютная доверительная ошибка, допущенная при определении среднего значения генеральной совокупности для нормального распределения в симметричном доверительном интервале, определяется по формуле:
,
(41)
тогда относительная доверительная ошибка среднего значения:
,
(42)
т.к.
,
то
,
(43)
Если принять, что γ =0,95, то t~2, тогда:
и
.
Исходя из формулы (43) можно рассчитать доверительный объем измерений при определении выборочного среднего значения:
,
(44)
Для определения общей гарантийной ошибки используется формула:
,
(45)
При измерениях возникают ошибки двоякого рода:
- ошибки измерения (Аm);
- ошибки, вызванные неравномерностью самого материала m.
В приведенных выше формулах предполагалось, что абсолютные погрешности измерений равны нулю. Однако практически измерения выполняются с какой-то погрешностью, которая обычно нам не известна. Если принять самый неблагоприятный случай, когда все измерения получены с односторонней предельной ошибкой, т.е. при +Аm и –Аm, тогда совместный учет предельных абсолютных погрешностей и ошибки выборки будет:
,
(46)
Предположим, что ошибки отдельных измерений подчиняются нормальному распределению, а величина R соответствует максимальному размаху, обусловленному нормальной погрешностью измерений:
,
(47)
При таких условиях среднее квадратическое отклонение вследствие погрешности измерений будет определяться по формуле:
,
(48)
где Dn – коэффициент, зависящий от числа испытаний (таблица 7).
Таблица 7.
N |
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
20 |
30 |
Dn |
3,17 |
3,68 |
3,98 |
4,20 |
4,79 |
5,20 |
6,00 |
Учитывая, что дисперсия измерений не зависит от дисперсии неравномерности материала, и применяя правило сложения дисперсий, можно определить общую ошибку по формуле, в которой учтены ошибка выборки и абсолютная погрешность измерения:
,
(49)
где m – ошибка выборки при выбранной доверительной вероятности; Аm – случайная ошибка измерения; tγ – квантиль распределения Стьюдента; SА – дисперсия для оценки А (дисперсия неравномерности объекта измерения).
5. Сравнение результатов измерений. Сравнение двух средних независимых выборок
Часто в процессе
проведения испытаний необходимо сравнить
результаты двух независимых выборок с
тем, чтобы оценить достоверность разности
.
Если эта разность недостаточно значима,
то средние
и
могут относиться к одной и той же
генеральной совокупности. Если же эта
разность достаточно значима, то средние
и
относятся к разным генеральным
совокупностям или к одной совокупности,
но при измерении величин
и
имеется достаточная разница в методах
их определения.
При большом числе испытаний n>30 и m>30 критерий достоверности определяется по формуле:
,
(50)
Полученное значение сравнивают с табличными значениями критерия Стьюдента.
При малом числе испытаний n+m<60:
,
(51)
При пользовании
формулой (51) находят значение
и по таблице 8 для найденной величины k
при вероятности
95% определяют табличное значение t.
Таблица 8.
k |
t |
k |
t |
k |
t |
k |
t |
1 |
12,78 |
10 |
2,23 |
19 |
2,09 |
28 |
2,05 |
2 |
4,30 |
11 |
2,20 |
20 |
2,09 |
29 |
2,05 |
3 |
3,18 |
12 |
2,18 |
21 |
2,08 |
30 |
2,04 |
4 |
2,78 |
13 |
2,16 |
22 |
2,07 |
40 |
2,02 |
5 |
2,57 |
14 |
2,14 |
23 |
2,07 |
60 |
2,00 |
6 |
2,45 |
15 |
2,13 |
24 |
2,06 |
120 |
1,98 |
7 |
2,37 |
16 |
2,12 |
25 |
2,06 |
∞ |
1,96 |
8 |
2,30 |
17 |
2,11 |
26 |
2,06 |
- |
- |
9 |
2,26 |
18 |
2,10 |
27 |
2,05 |
- |
- |
Если tp>t то разность средних и при нормальном распределении достоверна более чем на 95%. Если tp<t, то разность средних не считается достаточно достоверной.