3.2.5 Note to text 3.2.4:

• in excess of its quota - сверх его доли, т. е. сверх его обычного количе­ства электронов.

3.2.6 Read the text in Russian and translate it from Russian into English. Теория хаоса

Одной из наиболее интересных и до конца не исследованных теорий классической механики является теория хаоса.

Теория хаоса представляет собой математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество и другие социальные системы.

Теория хаоса — это область исследований, связывающая математику, физику и философию.

Она гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.

Первооткрывателями теории считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд, Мозер, построившие теорию хаоса. Теория вводит понятие аттракторов, устойчивых орбит системы.

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре–Бендиксона, непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трех измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. Таким образом, произвольно маленькое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к начальным условиям.

Чувствительность к начальным условиям более известна как “Эффект бабочки”. Термин возник в связи со статьёй “Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас”, которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской “Ассоциации для продвижения науки” в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой.

Несмотря на попытки понять хаос в первой половине двадцатого столетия, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда некоторым ученым стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты. Чтобы заранее исключить неточности при изучении — простые “помехи” в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы. Основным катализатором для развития теории хаоса стала электронно-вычислительная машина.

Одним из первых исследователей теории хаоса был также Эдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что Метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели. Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашел повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что Структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была константа — значит, ошибки неизбежны и должны быть запланированы. В 1967 он издал работу, где доказывал, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения. В 1975 году Мандельброт опубликовал работу “Природа фрактальной геометрии”, которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.

В настоящее время, теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика, топология, физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т.д.).

Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника.

Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности. В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов. Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности.