3.2. Повторные пределы

Кроме рассмотренного выше предела функции f(x₁,х₂,…,х_n) при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, приходится иметь дело и с пределами другого рода, получаемыми в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. Первый предел называется m-кратным (или двойным, тройным и т.д. при m = 2, 3, …), а последний – повторным.

Ограничимся для простоты случаем функции двух переменных f(x,y). Допустим к тому же, что функция задана в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀), за исключением, быть может, самой точки M₀. Пусть для каждого фиксированного y из этой окрестности при x  x₀ существует для функции f(x,y) (которая оказывается функцией лишь от x) предел . Этот предел, вообще говоря, будет зависеть от наперед фиксированного y, т.е. будет функцией от y: .

Такой предел называется частным (простым) пределом. Затем можно поставить вопрос о пределе функции y) при y  y₀:

. (2.4)

Это и будет один из двух повторных пределов. Другой получится, если предельные переходы произвести в обратном порядке: .

Не следует думать, что эти повторные пределы необходимо равны. Если, например, в области D, которая есть открытый прямоугольник (0,a; 0,b) положить

1) и взять x₀ = y₀ = 0, то получим: , в то время как .

Может случиться также, что один из повторных пределов существует, а другой – нет. Так будет, например, для функций:

2) или 3) ; в обоих случаях здесь существует повторный предел , но нет повторного предела (а в последнем примере нет даже частного предела ).

Достаточные условия равенства двух введенных повторных пределов устанавливает следующая теорема, которая в то же время устанавливает связь между двойными и повторными пределами.

Теорема. 1) Пусть функция определена в некоторой окрестности D точки и имеет в этой точке двойной предел .

2) Пусть, кроме того, для любого фиксированного х из D существует частный предел по у: и для любого фиксированного у из D существует частный предел по х: .

Тогда повторные пределы и существуют и равны двойному

.

Докажем это для случая конечных , x₀ и y₀. Так как функция имеет в предел , то для любого можно указать такое , что при и (причем x и y берутся из D) выполняется неравенство .

Таким образом, в окрестности точки M₀ значения функции отличаются от  не больше, чем на . Но тогда частные пределы (x) и y), указанные в формулировке теоремы при x и y, удовлетворяющих неравенствам и также отличаются от  не больше, чем на , т.е.

и .

Следовательно, и пределы этих функций в точках x₀ и y₀ соответственно существуют и равны .

и .

Теорема доказана.

Замечания. 1. Условие 1) теоремы не влечет за собой условие 2). Например, для функции в точке M₀(0,0) двойной предел существует. Из неравенства следует, что он равен нулю. Однако частного предела в этой точке не существует.

2. Существование двойного предела не является необходимым условием для равенства повторных. Например, для функции в точке M₀(0,0) оба повторных предела существуют и равны нулю, хотя двойного предела нет. Действительно, если взять две последовательности точек и , очевидно, сходящихся к точке M₀(0,0), то окажется, что

, а .

Отсюда уже следует, что упомянутого предела не существует.

Укажем еще один способ определения двойного предела. Предположим, что точка M (х, у) стремится к точке M₀ (0,0) по прямым y = kx. Тогда

.

Этот предел зависит от значений k, т.е. от направления, по которому точка M стремится к точке M₀ . Поэтому функция в начале координат предела не имеет.