§3. Предел функции нескольких переменных

Предположим, что функция у = f(x₁,х₂,…,х_n) определена в некотором точечном множестве D из Rⁿ, допускающем точку сгущения М₀ .

Распространим понятие точки сгущения М₀ области D и на тот случай, когда все координаты этой точки (или некоторые из них) бесконечны. В этом случае точка М₀ называется несобственной. Например, точка , является для D точкой сгущения, если в этой области найдутся точки со сколь угодно большими (положительными) координатами.

Определение 1. Число  называется пределом функции у = f(x₁,х₂,…,х_n) при стремлении переменных x₁, х₂,…,х_n соответственно к , если для любого числа    найдется такое число _  , зависящее от ε, что при всех совокупностях значений x₁, х₂,…,х_n, удовлетворяющих неравенствам

(2.1)

выполняется неравенство

(2.2)

обозначение:

. (2.3)

Условие   i = 1, 2,…,n означает, что точка (x₁, х₂,…,х_n) отлична от ( ).

Если какие-то из аргументов стремятся к бесконечности, то по заданному    находим _   и _   такие, что неравенства (2.1) сохраняются лишь для аргументов, стремящихся к конечному числу. Все другие неравенства заменяются на неравенства х_i  _ , i = 1, 2,…, m, где m n.

При этом неравенства (2.2) сохраняются.

Очевидно, это определение содержит как частный случай определение предела функций одной переменной (гл.1, §6, п.6.1).

В геометрических терминах, вводя для точек (x₁,х₂,…,х_n) и ( ) обозначения М и М₀, можно приведенное определение перефразировать и дать другое эквивалентное определение предела.

Определение 2. Число  называется пределом функции у = f(M) при стремлении точки М к М₀ (или – в точке М₀), если для каждого числа    существует такое число r_  0, что f(M) –   , лишь только расстояние d(ММ₀) < r_ или, другими словами, лишь только точка M попадает внутрь шара радиуса r_ с центром в точке М₀. Точка M предполагается взятой из D, но отличной от М₀.

Обозначение предела функции также можно приспособить к этому определению:

.

3.1. Сведение к случаю предела последовательности точек из Rm

Рассмотрим в m-мерном арифметическом пространстве R^m последовательность точек {M_n} = {M_n(x_1n, x_2n, … ,x_mn)}.

Определение 1. Точка называется пределом последовательности {M_n}, если для любого числа    можно указать номер n_ , зависящий от , такой, что при n  n_, выполняется неравенство d(M_n M₀)<.

Записывают это так: или .

Если точка M₀ есть предел последовательности {M_n}, то каждая окрестность точки M₀ содержит все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера. Вне окрестности точки M₀ находится лишь конечное число членов последовательности {M_n}.

Последовательность {M_n}, имеющая пределом точку M₀, называют сходящейся к точке M₀.

Справедлива следующая лемма, доказательство которой мы опускаем.

Лемма. Пусть последовательность {M_n} точек пространства R^m сходится к точке M₀. Тогда последовательности {x_1n},{x_2n},…,{x_mn} координат точек M_n сходятся к соответствующим координатам точки M₀, и, наоборот, если последовательности {x_1n},{x_2n},…,{x_mn} координат точек M_n сходятся соответственно к числам , то последовательность {M_n} сходится к точке M₀ с координатами :

, i = 1, 2, …., m.

Пусть теперь точка M₀( ) является точкой сгущения некоторого множества D в m – мерном пространстве R^m. Тогда из D всегда можно извлечь такую последовательность отличных от M₀ точек {M_n}, которая сходилась бы к M₀ как к предельной точке.

Определение 2. Число  называется пределом функции y = f(M) в точке M₀ (или при стремлении точки M к M₀), если для любой сходящейся к M₀ последовательности {M_n} точек множества D, члены M_n которой отличны от M₀, соответствующая последовательность {f(M_n)} значений функции сходится к .

Ясно, что приведенное определение дает другую форму определения предела функции с помощью последовательностей.

Таким образом, и для функции нескольких переменных удается вопрос о пределе функции свести к вопросу о пределе последовательности. Этот результат легко распространить и на случай, когда числа , или некоторые из них бесконечны (см. гл.1, §6, п.6.2). Указанное обстоятельство позволяет распространить на новый тип предела все основные понятия и предложения развитой в гл.1, §5 теории пределов – наподобие того, как это было сделано в гл.1, §6, п.6.3 и §7 для функции одной переменной.

Замечание. Для того чтобы показать, что функция многих переменных в некоторой точке M₀ не имеет предела, достаточно указать две различные последовательности точек {M_n} и { }, сходящиеся к точке M₀, для которых значения функции стремятся к двум различным числам.