§2. Способы задания функции

Основные способы задания функции многих переменных те же, что и функции одной переменной, – табличный, аналитический и графический.

В рассматриваемых примерах 1 – 3 функции заданы аналитически.

Примеры: 1. ; 2. ;

3. .

Те замечания, которые были сделаны в гл.1, §2, п.2.3 по поводу аналитического задания функций одной переменной, могут быть повторены и здесь. Так, определим естественную область, на которой может быть задана функция . Очевидно, областью определения этой функции являются все точки М(х₁,х₂), образующие замкнутый круг радиуса 2 с центром в начале координат, т.е. точки координаты которых удовлетворяют неравенству

.

Аналогично, как и для функции одной переменной, функция многих переменных может быть также задана неявно при помощи уравнения

F (x₁, x₂,…,x_n , y) = 0.

Для этого необходимо, чтобы при подстановке функции y = f(x₁,x₂,…,x_n) в это уравнение равенство F(x₁, x₂ ,…, x_n, f(x₁,x₂,…,x_n)) имело бы место тождественно относительно x₁, x₂,…,x_n .

Например, уравнение задает неявно две функции двух переменных и с областью определения (точки, образующие замкнутый эллипс с полуосями a и b).

Графически можно изобразить лишь функции двух переменных. Как известно из аналитической геометрии, функция z = f(x,y) (или y = f(x₁, x₂)) определяет некоторую поверхность в ориентированном при помощи системы координат x, y, z пространстве. Проекцией этой поверхности на координатную плоскость xOy является область D определения этой функции.

Например, графическим изображением функции является параболоид вращения. Область определения этой функции есть координатная плоскость xOy.

Для исследования функций двух переменных часто используется метод сечений, состоящий в том, что поверхность z = f(x,y) пересекают плоскостями x = x₀ и y = y₀. Рассматривают графики функций z = f(x₀,y) или z = f(x,y₀) одной переменной и по графикам этих функций определяют график функции двух переменных.

Можно фиксировать не текущие координаты x или y, а саму функцию. При этом получим функцию одной переменной, заданную неявно уравнением

f(x, y) = c.

Определение 1. Геометрическое место точек M(x,y) плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение, называется линией уровня. Уравнение линии уровня записывают в виде f(x,y) = с.

Строя линии уровня для различных значений z = c, можно получить полное представление о графике функции двух переменных.

Пример. Найти линии уровня и построить график функции

, где и .

Линии уровня z = c найдем из уравнения , где c > 0.

Преобразуем уравнение семейства линий уровня

.

Из последнего уравнения видим, что линиями уровня данной функции являются эллипсы с полуосями и (книга 3, рис.3.12).

Метод сечений может быть использован и для функции трех переменных u = f(x,y,z). Если зафиксировать u = c, то получим неявную функцию двух переменных f(x,y,z) = с.

Определение 2. Поверхностью уровня функции u = f(x,y,z) называется геометрическое место точек пространства, в которых функция принимает одно и то же значение. Уравнение поверхности уровня имеет вид f(x,y,z) = с, где с – постоянная.