53. Координатные последовательности последовательности точек в . Критерий сходимости последовательности в в терминах координатных последовательностей.

Фундаментальные последовательности в . Критерий сходимости Коши

Последовательность точек пространства называется фундаментальной (или сходящейся в себе, или последовательностью Коши), если для любого существует такой номер , что

Критерий:Для того, чтобы последовательность точек пространства была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Понятие внутренней точки множества и его внутренности.. Определение и свойства открытых множеств в . Примеры открытых множеств.

Точка множества называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью.

Совокупность всех внутренних точек множества обозначается и называется внутренностью множества .

Множество называется открытым, если каждая его точка является внутренней, т.е. если =

Пример 1. Во множестве вещественных чисел , которое мы естественно отождествляем с пространством , -окрестностью точки является интервал

(здесь следует иметь в виду, что в ).

Так как любой конечный или бесконечный интервал вместе с каждой своей точкой при некотором содержит и интервал , то всякий интервал является открытым множеством□

Понятие точки сгущения множества в пространстве . Определение замкнутого множества . Критерий замкнутости в терминах предела.

Точка называется точкой сгущения или, также, предельной точкой множества , если в любой ее проколотой окрестности имеется хотя бы одна точка множества , т.е. если .

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения.

Критерий замкнутости Для того чтобы множество было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно содержало предел любой своей сходящейся последовательности.

Связь между открытыми и замкнутыми множествами и свойства замкнутых множеств в . Примеры замкнутых множеств.

Теорема 4. Множество является открытым тогда и только тогда, когда его дополнение является замкнутым.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть множество открыто. Тогда ни одна его точка не может быть точкой сгущения множества (ибо всякая такая точка имеет окрестность целиком лежащую в и, значит, непересекающуюся с ). Таким образом, множество содержит все свои точки сгущения, т.е. является замкнутым

Достаточность. Пусть множество замкнуто. Тогда ни одна точка множества не является точкой сгущения множества . Поэтому каждая точка множества имеет целиком содержащуюся в нем свою окрестность. Следовательно, множество открыто □

58. Понятие функции нескольких переменных

Пусть . Тогда отображение (функция) называется функцией переменных, заданной на множестве , при этом множество , как и в случае произвольного отображения, называется областью определения функции .

Определение предела функции нескольких переменных в смысле Коши и его геометрическая форма.

(определение предела по Коши). Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при , или пределом функции при , или также пределом функции в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенствам: (1)

имеет место неравенство(2)

геом форма

Определение предела функции нескольких переменных в смысле Гейне.

(определение предела по Гейне) Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любой последовательности , последовательность сходится и

.

Определение непрерывности функции нескольких переменных на языке и его геометрическая форма.

(определение непрерывности на языке « »). Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству ,

справедливо неравенство .

Определение непрерывности функции нескольких переменных на языке последовательностей.

Функция , , называется непрерывной в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к точке ( ), числовая последовательность сходится к точке , т.е. .

Теорема о непрерывности сложной функции.

Теорема 1 (о непрерывности сложной функции). Пусть функции , , определены на множестве и непрерывны в точке , а функция определена на множестве

,

и непрерывна в точке . Тогда сложная функция , ,

непрерывна в точке .

Понятия непрерывной и равномерно непрерывной функции на множестве. Понятие компактного множества в пространстве .

Функция , , называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Функция , , называется равномерно непрерывной на множестве , если такое, что

, .

Множество называется компактным или также компактом, если

оно замкнуто и ограничено.

Теоремы Кантора и Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте

Теорема кантора Всякая непрерывная на компакте функция является на нем равномерно непрерывной.

(первая теорема Вейерштрасса о непрерывных на компакте функциях).

Всякая непрерывная на компакте функция – ограничена на нем.

(вторая теорема Вейерштрасса о непрерывных на компакте функциях).

Всякая непрерывная на компакте функция достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней.

Понятия дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Непрерывность и дифференцируемость.

Пусть – внутренняя точка множества . Функция называется дифференцируемой в точке Х, если существует такая линейная функция

,

() переменных , что (здесь при

при этом линейная функция называется дифференциалом функции в точке Х и обозначается или, короче, Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Достаточно заметить, что в силу (2)

□

Понятие частной производной функции нескольких переменных.

Пусть – некоторая функция переменных и – внутренняя точка множества . Если существует предел

,то он называется частной производной функции в точке по -ой переменной.

Теорема о существовании частных производных

Теорема 2. Дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке конечные частные производные по всем переменным, , при этом

( , (2) ).и следовательно дифференциал функции имеет вид

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция дифференцируема в точке

, то имеет место равенство (1), где ,

и, следовательно, равенство (1) можно записать в виде

( при (3) В частности для любого вектора последнее равенство принимает вид:

( при ),Отсюда следует, что для любого существует конечный предел

,

который по определению 3, в то же время, равен частной производной . Поэтому равенство (3) можно записать в виде (2) □

Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных. (достаточное условие дифференцируемости). Пусть все частные производные , , функции , существуют и непрерывны в точке . Тогда функция дифференцируема в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы Лагранжа для функций одной переменной и непрерывности частных производных имеем:

где при , . Таким образом, □