Теорема о замене переменной и формула интегрирования по частям для несобственных интегралов.

5^о. Теорема о замене переменной. Пусть функция непрерывна на бесконечном или полубесконечном промежутке , а функция 1) либо непрерывно дифференцируема на конечном или бесконечном промежутке , возрастает на нем, и , 2) либо непрерывно дифференцируема на конечном или полубесконечном промежутвке , убывает на нем, и . Тогда интегралы и (8) сходятся или нет одновременно и если сходятся, то имеет место формула (формула замены переменной в несобственном интеграле) (9). 6^о. Формула интегрирования по частям. Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на промежутке и существует (конечный) предел . (12) Тогда из сходимости одного из интегралов и (13) вытекает сходимость другого, и если они сходятся, то имеет место формула : (формула интегрирования по частям)(14) Д о к а з а т е л ь с т в о. При сделанных предположениях для любого , имеет место формула интегрирования по частям для определенного интеграла (15) С учетом того, что существует конечный предел (12), отсюда, очевидно следует, что интегралы (13) сходятся или нет одновременно, а если сходятся то имеет место формула (14), которая получается в результате перехода к пределу при в формуле (15) □ Замечание 1. Обычно формулу (14) записывают также как и в случае обычного –собственного интеграла: ,где . Ее записывают также и в виде .

Критерий сходимости Коши и теорема сравнения для несобственных интегралов. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Пусть функция определена на полуоси и интегрируема по Риману на любом отрезке , . Теорема 1 (Критерий Коши). Несобственный интеграл (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого найдется такое , что для любых имеет место неравенство .(2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Сходимость интеграла (1) означает существование конечного предела функции (3) при . В силу критерия Коши для существования предела необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое , что для любых выполнялось неравенство . Остается заметить, что (3) ~ (2). Пусть наряду с функцией на полуоси определена функция , которая, как и функция , интегрируема по Риману на любом отрезке , . Теорема 2 (признак сравнения). Пусть при . Тогда если сходится интеграл , (4) то сходится и интеграл (1). В свою очередь, если интеграл (1) расходится, то расходится и интеграл (4). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть интеграл (4) сходится. Тогда по теореме 1 для любого найдется такое , что для любых выполняется неравенство (2), где вместо функции следует подставить функцию . Следовательно, используя неравенство ( ) получим . По теореме 1 это означает, что интеграл (1) сходится. Пусть теперь дано, что интеграл (1) расходится. Тогда интеграл (4) также расходится, так как в противном случае, т.е. в случае его сходимости, по доказанному выше сходился бы и интеграл (1), а это противоречит условию. Определение 1. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .Определение 2. Если несобственный интеграл сходится, но не абсолютно, то говорят, что он сходится условно.