Основные теоремы о степенных рядах (о непрерывности суммы степенного ряда, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании степенного ряда)

Пусть – радиус сходимости степенного ряда (1).Теорема 1 (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на интервале сходимости этого ряд. .Говорят, что функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если .Теорема 2 (о почленном интегрировании степенного ряда). Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать на любом отрезке , где , при этом степенной ряд (2) полученный в результате почленного интегрирования ряда (1) имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд (1).Теорема 3 (о почленном дифференцировании степенного ряда). Степенной ряд (1) можно почленно дифференцировать в любой точке из интервала его сходимости , при этом степенной ряд (3) полученный почленным дифференцированием ряда (1) имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд (1).

Разложение функций в степенные ряды (определение).

Пусть функция определена на некотором числовом множестве .Определение 1. Говорят, что функция разлагается в окрестности точки в степенной ряд , если , .(1)

Необходимое условие разложимости функции в степенной ряд. Единственность разложения. Понятия ряда Тейлора и ряда Маклорена.

Теорема 1 (необходимое условие разложимости функции в степенной ряд). Для того, чтобы функция могла быть разложена в окрестности точки в степенной ряд , необходимо, чтобы она имела в ней производные любого порядка.Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если в окрестности точки имеет место равенство (1), то эта окрестность заведомо содержится в интервале сходимости степенного ряда, стоящего в правой части равенства (1). А поскольку степенной ряд можно любое число раз почленно дифференцировать в его интервале сходимости, то это и означает, что функция в окрестности точки имеет производные любого порядка □Теорема 2. Если функция разлагается в окрестности точки в степенной ряд , то лишь единственным образом. Определение 2. Степенной ряд , коэффициенты которого определяются по формуле называется рядом Тейлора функции в точке . Ряд Тейлора функции в точке , т.е. ряд называется ее рядом Маклорена.

Разложение элементарных функций в ряд тейлора. Вспомним теперь, что для раз дифференцируемой в точке функции ее формула Тейлора в этой точке или, что то же самое, ее формула Маклорена имеет вид ,где – -ый остаток формулы Маклорена. Тогда учитывая, что разложимость на интервале бесконечно дифференцируемой на нем функции в свой ряд Тейлора (в точке ) означает, что ри , приходим к следующему, очевидному заключению: Теорема 3. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке функция разлагалась на интервале в свой ряд Маклорена, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена для этой функции стремился к нулю на этом интервале: .Пользуясь этой теоремой и тем, что для бесконечно дифференцируемых на всей числовой прямой функций их формулы Маклорена с остаточными членами в форме Лагранжа имеют вид: (здесь всюду точка лежит строго между точками 0 и ), легко приходим к выводу, что все эти три функции разлагаются в свой ряд Маклорена на всей вещественной прямой и эти разложения имеют соответственно вид: Рассмотрим функцию . По формуле Маклорена (2) для имеем .Запишем здесь остаточный член в форме Лагранжа: .Тогда если , то . Поэтому и, следовательно, при . Если же , то запишем остаточный член в форме Коши: ,Так как при и ,то при тех же имеем и, следовательно, при Из (3) и (4), с учетом формулы Маклорена для функции , следует что она раскладывается в свой ряд Маклорена на промежутке . и это разложение имеет вид: Заметим, что радиус сходимости ряда, стоящего здесь справа равен 1, а в точке он заведомо расходится. Так-что, последнее разложение имеет место только на промежутке . Приведем еще разложение функции . Дифференцируя эту функцию и используя формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии будем иметь , .Ряд, стоящий здесь справа имеет радиус сходимости . Поэтому его можно интегрировать почленно на любом отрезке , где . Интегрируя правую и левую часть равенства (5) по любому такому отрезку будем иметь Однако можно показать, что ряд, стоящий в правой части равенства (6) сходится и в точках , в чем легко убеждаемся по признаку Лейбница. Более того, можно показать (см., например, учебник Кудрявцева), что разложение (5) справедливо и в точках . Таким образом справедливо разложение Наконец, без доказательства отметим, что функция на интервале имеет следующее разложение .При в зависимости от значения показателя степени это разложение может иметь место, а может и нет ! См. по этому поводу учебники Кудрявцева и Фихтенгольца.