- •1. Загальні принципи побудови систем
- •1.1 Поняття системи, її властивості та їх співвідношення. Прості та ієрархічні системи
- •Закономірності формування ієрархічних систем
- •1.3. Класифікації систем
- •Відкриті і закриті системи.
- •Цілеспрямовані системи.
- •Класифікації систем по складності.
- •1.4 Визначення й основні принципи системного підходу
- •1. Принцип пріоритету глобальної мети і послідовного просування
- •2. Принцип модульності систем
- •3. Принцип узгодження зв'язків
- •4. Усталеність систем
- •5. Принцип відсутності конфліктів між цілями окремих елементів чи підсистем і цілями всієї системи
- •1.5 Порівняльна характеристика класичного та системного підходів до формування системи
- •1.6 Основні задачі створення і дослідження систем
- •1.7. Основні етапи розробки систем
- •2. Термінологія і класифікація моделей об'єктів та систем
- •2.1 Закон і модель, їх співвідношення. Види моделей.
- •2.2 Побудова і аналіз статистичних моделей
- •2.2.1. Проведення експерименту відсіювання (вибір значущих факторів)
- •2.2.2. Вибір форми функціональної залежності
- •2.2.3. Визначення коефіцієнтів (параметрів) моделі
- •2.2.3.1 Метод найменших квадратів (мнк)
- •3. Регресійні моделі з однією змінною
- •3.1. Оцінка надійності коефіцієнтів моделі лінійної регресії
- •3.2 Приклад побудови моделі лінійної регресії
- •4. Моделі множинної лінійної регресії
- •4.1 Матрична форма моделі множинної регресії
- •4.2 Приклад побудови рівняння множинної регресії
- •4.3 Аналіз моделі множинної регресії
- •4.4 Визначення довірчих інтервалів коефіцієнтів множинної регресії
- •5. Композиція і декомпозиція складних об'єктів і систем
- •5.1 Еквівалентні перетворення моделей систем
- •1.Модель без додаткових зв’язків
- •2. Послідовне підключення моделей підсистем
- •П аралельне підключення моделей (рис.5.5).
- •7. Синтез оптимальних систем на основі динамічного
- •7.1 Визначення методу дп
- •7.2 Знаходження най коротшої відстані між двома вузлами на мережі доріг
- •7.3 Задачі розподілу ресурсів
- •Рішення
- •Рішення
- •9. Аналіз і синтез систем на основі імітаційного моделювання
- •9.1 Загальні питання імітаційного моделювання
- •9.2. Метод Монте-Карло
- •9.3 Види випадкових потоків
- •9.5 Імітаційне моделювання транспортних систем масового обслуговування
- •9.6 Алгоритм імітаційного моделювання смо
- •Підпрограма "Моделювання вхідного потоку"
- •Підпрограма "Моделювання вихідного потоку"
- •Підпрограма " Побудова діаграми №2 розподілу часових інтервалів вихідного потоку"
- •9.7. Приклад застосування програми імітаційного моделювання
- •10. Управління в організаційних системах. Принцип зворотного зв'язку
- •10.1 Основні принципи управління
- •10.1.1. Принцип управління по збуренню
- •10.1.2. Принцип управління по відхиленню (принцип зворотного зв'язку)
- •10.1.3. Принцип комбінованого управління
- •10.2 Приклад аналізу систем управління об'єктами економічного характеру
4.4 Визначення довірчих інтервалів коефіцієнтів множинної регресії
Останнім, завершаючим етапом аналізу моделі множинної регресії є оцінка довірчих інтервалів отриманих коефіцієнтів моделі. Справа у тому, що визначені одного разу коефіцієнти моделі системи не будуть незмінними при їх повторному визначенні із застосуванням нових експериментальних даних, а кожного разу їх значення будуть відрізнятися від попередніх значень. Задачею цього розділу буде саме визначення границь інтервалів, в яких з заданою ймовірністю будуть знаходиться вказані коефіцієнти при їх повторних визначеннях.
В теорії статистики доведено, що отримані оцінки коефіцієнтів моделі, будуть незміщеними і обґрунтованими при виконанні наступних умов:
- при кожному спостереженні похибка εі є випадковою величиною з математичним сподіванням Мε=0 і дисперсією тобто систематична складова похибки відсутня.
- матриця значень хij складається з лінійно - незалежних змінних. Саме при виконанні цих умов дисперсія параметрів моделі визначається матрицею коваріацій вектора оцінок А
З огляду на (4.13):
де Е- одинична, діагональна матриця, матриця коваріацій (дисперсій) параметрів моделі регресії А прийме вид :
cov(A)=s2E(XTX)-1.
Приймаючи замість його оцінку S2, яка визначається як
де (п-т) - число ступенів свободи, яке дорівнює числу вибірок за винятком числа параметрів моделі, що визначаються, маємо:
(4.14)
де bjj - діагональні елементи матриці (XT X)-1 (j=0,1,2, ... , m)...
Тоді середнє-квадратична помилка визначення параметра aj буде дорівнювати
(4.15)
Формули (4.14) і (4.15) можуть бути використані безпосередньо для оцінки параметрів моделі множинної регресії.
У розглянутому вище прикладі діагональні елементи матриці (ХтХ)-1 є рівними:
Розрахуємо S2:
Тоді середню квадратичну похибку визначення аj розрахуємо по (4.14) з урахуванням (4.15):
Далі визначимо розрахункові коефіцієнти довіри (t - коефіцієнти) параметрів моделі:
При рівні довірчої ймовірності Р=0,95 і числі ступенів свободи
К=п-m-1=19-2-1 = 16 по таблиці Стьюдента знаходимо критичне значення коефіцієнта довіри tкр=2,12. Тому в отриманому рівнянні регресії, значущим є лише коефіцієнт регресії а2=1,532, тобто вплив змінної х1 є незначним.
Довірчий інтервал для коефіцієнта моделі а2 визначається (при Р=0,95):
Оскільки параметри а0 і а1 не є значущими, то а1 може бути виключений з рівняння множинної регресії. При цьому замість змінної х1 може бути прийнята друга змінна, яка досі не розглядалась і не була введена в модель множинної регресії. Можливо, що ця подія допоможе підвищити точність моделі. Але при цьому всю процедуру оцінювання необхідно повторити з усіма експериментальними даними, включаючи також дані про нову змінну х1.
Завершуючи розгляд методики отримання моделей множинної лінійної регресії, введемо програму розрахунків коефіцієнтів множинної регресії та оцінку точності моделі у середовище MATHCAD -2000 (див. нижче).
В наведеній програмі досліджується залежність прибутку (у) від обсягу капіталовкладень за поточний рік (х1), обсягів основних фондів (х2) і чисельності працюючих на 7 аналогічних підприємствах.
Отриманий коефіцієнт детермінації Кд =0,922 свідчить про те, що незалежні змінні (аргументи моделі) вибрані правильно. Про це свідчить також і отримана дисперсія похибки моделі.
Зауважимо, що в результаті розрахунків чисельність працюючих негативно впливає на прибутковість роботи підприємств. Виходячи з цього необхідно приділити значну увагу саме питанню більш ефективного використання особистого складу працюючих з метою підвищення їх віддачі. Можливо, що необхідно скоротити адміністративний персонал і підвищити долю безпосередньо зайнятих на виробництві людей.