Тема 7. Интегральное исчисления функций одной переменной.
Основные теоретические сведения.
1.
Неопределенным
интегралом
от функции
называется
выражение вида
если
.
Функция
называется
первообразной для заданной функции
.
2. Свойства неопределенного интеграла.
1)
2)
3)
4)
где
5)
3. Таблица основных неопределенных интегралов.
1.
где
(
).
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
4. Методы интегрирования.
При интегрировании наиболее часто используются следующие методы.
1) Если то
(1)
где а и b–некоторые постоянные.
2) Подведение под знак дифференциала:
(2)
так
как
3) Формула интегрирования по частям:
(3)
Обычно
выражение
выбирается так, чтобы его интегрирование
не вызывало особых затруднений. За
,
как правило, принимается такая функция,
дифференцирование которой приводит к
ее упрощению. К классам функций,
интегрируемых по частям, относятся, в
частности, функции вида
,
где
–многочлен
от х.
4)
Интегрирование рациональных дробей,
т.е. отношений двух многочленов
и
(соответственно
й
и n
й
степени):
сводится
к разложению подынтегральной функции
на элементарные, всегда интегрируемые
дроби вида:
,
(4)
где
l
и
m
–целые
положительные числа, а трехчлен
не имеет действительных корней. При
этом в случае неправильной дроби (
)
должна быть предварительно выделена
целая часть.
5)
Интегрирование
методом замены переменной
(способом подстановки) является одним
из эффективных приемов интегрирования.
Его сущность состоит в переходе от
переменной х
к
новой переменой t:
.
Наиболее целесообразная для данного
интеграла замена переменной, т.е. выбор
функции
,
не всегда очевидна. Однако для некоторых
часто встречающихся классов функций
можно указать такие стандартные
подстановки:
где R– символ рациональной функции.
2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:
(5)
если
и первообразная
непрерывна на отрезке
.
Определенный
интеграл численно равен площади
криволинейной трапеции, ограниченной
прямыми x=a,
x=b,
y=0
и частью графика функции
взятой со знаком плюс, если
,
и со знаком минус, если
.
Пример
1.
Найти
.
Решение.
Так как
то, используя формулы (1), получим
Проверка:
Пример
2.
Найти
.
Решение.
Так как
,
то по формуле (2) находим
Пример
3.
Найти
.
Решение.
Применим метод интегрирования по частям.
Положим
,
тогда
.
Используя формулу (3), имеем
.
Пример
4.
Найти
.
Решение. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (4):
.
Освобождаясь
от знаменателей в обеих частях этого
равенства и приравнивая числители,
получаем тождество для вычисления
неопределенных коэффициентов
:
.
Составим
систему трех уравнений с тремя
неизвестными. Одно уравнение получим,
полагая х=2
(корень знаменателя подынтегральной
функции). Два других получим, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
х
в обеих частях тождества, например
и
при:
Решение
этой системы дает:
.
Таким образом,
.
Пример
5.
Вычислить определенный интеграл
.
Решение.
Применим метод замены переменной;
положим
,
откуда
.
Найдем пределы интегрирования по
переменой t:
при
имеем
,
а при
имеем
.
Переходя в исходном интеграле к новой
переменной
и применяя формулу Ньютона-Лейбница
(5), получаем:
.