Аналитическая геометрия в пространстве.
1.
Общее
уравнение плоскости
имеет вид
где
нормальной
вектор плоскости (рис. 6).
Рис.6
Уравнение
плоскости, проходящей через три заданные
точки
и
имеет вид:
(6)
2.
Угол
между двумя плоскостями,
имеющими нормальные векторы
и
определяется как угол между
и
косинус этого угла находится по формуле
(7)
3.
Расстояние
от точки
до
плоскости,
определяемой
уравнением
находится
по формуле
(8)
4.
Уравнение
плоскости, проходящей через точку
и
перпендикулярной вектору
,
имеет вид
(9)
5.
Уравнения
прямой в пространстве, проходящей через
две заданные точки
и
имеют вид:
(10)
Канонические уравнения
(11)
определяют
прямую, проходящую через точку
и параллельно вектору
6.
Угол
между двумя прямыми,
заданными
их каноническими уравнениями
и
,
определяется по формуле
.
(12)
7. Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле
.
(13)
Пример
3.
Даны координаты вершин пирамиды
Составить уравнение прямой, проходящей
через
и
;
составить уравнения плоскостей
и
;
найти угол между ребром
и гранью
;
найти угол между плоскостями
и
;
найти расстояние от точки
до плоскости
;
составить уравнение плоскости, проходящей
через вершину
параллельно плоскости
.
Решение. 1. Подставив координаты вершин и в формулу (10), получим уравнение прямой
(
).
2.
Уравнение плоскости
получим, подставив координаты вершин
в формулу (6):
Вычислим определитель разложением по элементам 1-ой строки
(х+2)
т.е.
Аналогично
получаем уравнение плоскости
:
.
3.
Угол между ребром
и гранью
найдем по формуле (13), подставив
,
.
0,63,
откуда
=0,68
рад.
4.
По уравнениям плоскостей
и
определяем их нормальные векторы:
,
.
Угол между плоскостями находим по
формуле (7):
Отсюда
следует, что
тупой
угол, равный
рад с точностью до 0,01. Это и есть искомый
угол между плоскостями
и
.
5.
Расстояние от точки
(
)
до плоскости
найдем по формуле (8):
6.
Уравнение плоскости, проходящей через
вершину
(
)
параллельно плоскости
с нормальным вектором
,
получим по формуле (9):
т.е.
Тема 4. Комплексные числа.
Основные теоретические сведения.
1.
Выражение
вида z=x+yi=
называется комплексным числом
(в
алгебраической и тригонометрической
форме соответственно). Здесь
мнимая
единица, x=Rez
действительная часть, а y=Imz–мнимая
часть комплексного числа z;
и
модуль
и аргумент числа z:
.
(1)
Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.7).
рис.7
2. Арифметические действия над комплексными числами.
Два
комплексных числа
и
называются равными,
если равны их действительные и мнимые
части, т.е.
,
если
,
.
Сложение (вычитание) комплексных чисел:
(2)
Умножение комплексных чисел:
(3)
В частности,
,
т.е. мнимая
единица есть число, квадрат которого
равен
.
Деление двух комплексных чисел
(4)
3.
Извлечение
корня n-й
степени (n–натуральное
число) из числа z=
(z
)
производится
по формуле
(5)
где
арифметический корень из модуля z,
a
k=0,1,
… , n
1.
Пример
1.
Найти полярные координаты точки М (
;
)
(рис.8).
M
x
рис. 8
Решение.
Используя формулы (1), находим полярный
радиус и полярный угол точки М:
,
,
т.к. точка М
лежит в IV
четверти.
Пример
2.
Даны комплексные числа
Найти
,
,
.
Решение.
(учли,
что
).
Умножая
числитель и знаменатель на сопряженное
делителю комплексное число
,
получим
Пример
3.
Изобразить на комплексной плоскости
числа:1)
,
2)
=2
Записать число z1
в тригонометрической, а число z2
в
алгебраической форме.
Решение.
1) Для числа z1
имеем
x1=Re
z1=
,
y1=Im
z1=0.
Откладывая по оси Оx
x1=
,
а по оси Оy
=0,
получаем точку комплексной плоскости,
соответствующую числу z1
(рис.9).
Рис.9
Модуль
этого числа находим по формуле (1):
.
Аргумент определяем из равенства
.
Так как число z1
находится в левой полуплоскости, то его
аргумент
.
Тригонометрическая
форма числа z1
имеет вид z1=8
.
2)
Модуль числа z2
равен
,
а аргумент
.
Для его изображения на комплексной
плоскости проводим из полюса луч под
углом
к полярной оси и откладываем на нем
отрезок длиной
=2.
Полученная точка соответствует числу
z2
(рис.9).
Его действительная часть
а мнимая часть
.
Таким образом, алгебраическая форма
числа z2
имеет вид:
Пример
4.
Вычислить
.
Решение.
Модуль
числа
равен 8, а аргумент равен
.
Используя формулу (2), получаем
При k=0:
При k=1:
.
При k=2:
