Тема 5. Введение в анализ

Основные теоретические сведения

1. Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент у из Y, то говорят, то говорят, что на множестве Х задана функция (или отображение) со множеством значений Y. Это можно записать так: или , где множество Х называется областью определения функции, а множество Y, состоящее из всех чисел вида , множеством значений функции.

2. К основным элементарным функциям относятся:

1) степенная функция y= , где ;

2) показательная функция y=a^x, где ;

3) логарифмическая функция y= , где ;

4) тригонометрические функции: , ;

5) обратные тригонометрические функции: y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

3. Число А называется пределом функции f (x) при , если для любого найдется такое, что при

Это записывают так: .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих свойствах.

Если существуют и , то

1) ;

2) ;

3) (при )

4. Функция f(x) (F(x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если .

5. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводят к неопределенностям вида . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при ); 3) использование двух замечательных пределов:

Отметим также, что

Пример 1. Найти

Решение. Подставляя вместо x его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе – бесконечно малую функцию:

Поэтому

Пример 2. Найти .

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на x⁴. В результате получим

поскольку при функции 5/x³ и 7/x⁴ являются бесконечно малыми.

Пример3. Найти

Решение. Подстановка x= приводит к неопределенности . Произведем замену переменных: Тогда

Здесь использован второй замечательный предел.

Тема 6. Дифференциальное исчисления функций одной переменной.

Основные теоретические сведения.

1. Производной функции по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции обозначается через .

По определению: .

Операция отыскания производной заданной функции называется дифференцированием этой функции. По определению можно получить следующую таблицу формул дифференцирования элементарных функций:

1. , где ; 8) ;

2. ; 9) ;

3. ; 10) ;

4. ; 11) ;

5. 12) ;

6. ; 13) ;

7. 14) ;

15) .

Кроме того существуют следующие правила дифференцирования. Пусть С постоянная, u=u(x), v=v(x) функции, имеющие производные. Тогда:

Рассмотренных формул и правил определения производных недостаточно для нахождения производных функций более сложного вида, например, таких как и т.д.

Пусть y–есть функция от u: , где u–в свою очередь функция от аргумента x: ; в таком случае говорят, что y есть функция от функции, т.е. .

Если для соответствующих друг другу значений x и u существуют производные и то существует и производная от y по x, причем имеет место равенство

. (1)

2. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть функция аргумента x задана при помощи параметрических соотношений причем и дифференцируемые функции от t и , . Тогда

. (2)

3. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций (неопределенность 0/0 или ) равен пределу отношения их производных:

(3)

если предел справа существует.