Тема 2. Элементы векторной алгебры.
Основные теоретические сведения.
1.
Скалярным
произведением
двух векторов
и
называется число, определяемое равенством
(1)
где
угол
между векторами
и
.
2.
Косинус
угла
между
векторами
и
вычисляется по формуле
(2)
3.
Векторным
произведением
двух векторов
и
называется вектор
,
длина которого равна произведению длин
векторов-сомножителей на синус угла
между ними и который направлен
перпендикулярно векторам
и
так, что векторы
,
,
образуют правую тройку (рис. 1):
Рис.1
(3)
.
Геометрически
равен площади
параллелограмма, построенного на
векторах
и
:
.
4.
Смешанное
произведение
трех
векторов
,
,
есть число, равное
(4)
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , .
Пример 1. По координатам вершин пирамиды
найти:
1) длины ребер
и
2) угол между ребрами
и
3) площадь грани
4) объем пирамиды
Решение.
1)
Находим
векторы
и
Длины
этих векторов, т. е. длины ребер
и
,
таковы:
;
2)
Скалярное произведение векторов
и
находим
по формуле (1):
а косинус угла между ними–по формуле (2):
Отсюда
следует, что
тупой
угол, равный
рад с точностью до 0,01. Это и есть искомый
угол между ребрами
и
.
3)
Площадь грани
равна половине параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
т. е. половине модуля векторного
произведения этих векторов [см. формулу
(2)]:
Здесь определить вычисляется с помощью разложения по первой строке. Cледовательно,
4)
Объем
пирамиды равен
объема параллелепипеда, построенного
на векторах
Вектор
Используя формулу (4), получаем
Тема 3. Аналитическая геометрия.
Основные теоретические сведения.
Аналитическая геометрия на плоскости
1.
Расстояние d
между точками
и
определяется по формуле:
.
(1)
Уравнение
прямой, проходящей через точки
и
,
имеет вид:
. (2)
Угол
между двумя прямыми, угловые коэффициенты,
которых равны
и
,
определяется по формуле:
(3)
Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:
(4)
2. Кривые второго порядка.
В прямоугольной декартовой системе координат x0y кривая второго порядка задается уравнением второй степени
,
(5)
где A, B, C, D, E, F- заданные действительные числа. При этом числа A, B, C одновременно не равны нулю. Уравнение (5) называется общим уравнением кривой второго порядка.
Эллипс
Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Если
известны расстояние между фокусами
и
эллипса, равное 2с,
и сумма расстояний от любой точки на
эллипсе до фокусов, равная 2а,
то в прямоугольной декартовой системе
координат, где ось 0x
проходит через фокусы
и
(от
к
),
а начало координат находится посередине
между ними, уравнение эллипса имеет
вид:
,
который
называется каноническим,
числа а
и b
полуосями
эллипса; а,
b>
Вид
кривой показан на рис.2.
Рис. 2
При а=b эллипс представляет собой окружность радиусом а с центром в начале координат. Уравнение этой окружности
Эксцентриситетом
эллипса называется число
Для эксцентриситета эллипса справедливо
неравенство
поскольку из определения эллипса
следует, что
Эксцентриситет окружности
,
поскольку для окружности а=b
и с=0.