2.2. Математичні моделі та основні заходи математичного моделювання

Основним поняттям методу математичного моделювання є поняття математичної моделі.

Математичною моделлю називається наближене описання якого-небудь явища або процесу оточуючого світу за допомогою математичної символіки.

На самому початку скористаємося тим, що при вивченні деяких розділів математики читач уже познайомився з деякими прийомами математичного моделювання. Так, вивченню рівнянь математичної фізики передує нехай невеликий, але системно дуже важливий, етап математичного моделювання. Саме на цьому етапі були виведені основні рівняння математичної фізики. Для цього використовується математичне моделювання поширення тепла в нерівномірно нагрітому середовищі, а також моделюються коливання закріпленої на кінцях струни. Моделювання цих процесів дозволило отримати основні рівняння математичної фізики: теплопровідності, хвильове рівняння, рівняння Лапласа й Пуассона, а також сформулювати для них крайові й змішані задачі. Отже, розпочнемо з того, що вже знаємо.

1. При математичному моделюванні вивчається не сам реальний фізичний процес, а деяка його модель, від якої вимагається, щоб вона зберігала основні риси процесу, що розглядається, і в той же час була настільки простою, щоб піддаватися вивченню математичними методами.

2. Створення математичної моделі фізичного явища можна розбити на такі етапи:

2.1. Вибирається основна величина (кілька основних величин), яка характеризує процес. При математичному моделюванні поширення тепла такою величиною є температура  точок середовища, яка в загальному випадку є функцією просторових координат  і часу .

2.2. На другому етапі виводиться визначальне рівняння для основної величини, яка характеризує процес. При вивченні поширення тепла таким рівнянням є рівняння теплопровідності. Для виведення цього рівняння використовується закон збереження тепла в деякому довільному об’ємі нерівномірно нагрітого середовища.

2.3. Одержане на другому етапі диференціальне рівняння має безліч розв’язків. Отже, його не досить для описання конкретного процесу. Тому на третьому етапі побудови математичної моделі виводяться так звані умови однозначності, які з безлічі розв’язків визначального рівняння дозволяють виділити єдиний розв’язок, що характеризує даний процес, який моделюється. Нагадаємо, що для рівнянь математичної фізики такими додатковими умовами є крайові й початкові умови.

Таким чином, математична модель процесів, які вивчаються за допомогою рівнянь математичної фізики, складається з диференціального рівняння для основної величини, яка характеризує процес, і додаткових умов, які дозволяють отримати єдиний розв’язок цього рівняння – розв’язок, що описує даний, конкретний фізичний процес.

Після такого вступу перейдемо до основної частини розділу, у якому познайомимось з основними прийомами, що використовуються при виведенні визначальних рівнянь математичної моделі. Наприкінці розділу наведемо формалізовану схему математичного моделювання.

Основною тезою на початку буде така: другий етап побудови математичної моделі, тобто етап виведення визначального рівняння математичної моделі, є суттєво різним залежно від прийомів, які використовуються при її побудові. Розглянемо деякі підходи до побудови математичних моделей, які ілюструють застосування законів природи, варіаційних принципів, аналогій, ієрархічних ланцюгів. Це дає змогу обговорити такі поняття, як адекватність моделей, їх „оснащення”, нелінійність, чисельну реалізацію та низку інших фундаментальних понять математичного моделювання.