5.1.2. Методичний інструментарій оцінювання теперішньої і майбутньої вартості грошей по схемі складних відсотків

Складний відсоток представляє собою суму доходу, нарахованого в кожному інтервалі загального періоду його використання, яка не виплачується, а приєднується до основної суми грошового інтервалу і в наступному платіжному інтервалі сама приносить дохід. Застосовується при довгострокових фінансових операціях.

Майбутню (нарощену) суму Pn, яку вкладник одержить через n років, розраховують за формулою:

P_n = P (1 + r)ⁿ, (8)

де Pn – майбутня вартість грошей;

P – сьогоднішня вартість грошей;

r – відсоткова ставка (виражена десятковим дробом);

n – період нарахування.

Приклад. Власником інвестовані 250000 грн. на 4 роки під 6% річних. Яку суму одержить інвестор в кінці строку?

P4 = 250000 х (1+0,06) ⁴ = 315550 грн.

Складний відсоток може нараховуватись частіше, ніж один раз на рік. Відсотки, що нараховуються з певною періодичністю, називаються дискретними. В цьому випадку річна ставка називається номінальною, а відсоткова ставка за один інтервал нарахування вважається рівною відношенню номінальної ставки до кількості інтервалів в році. Нарощена сума буде розраховуватись за наступною формулою:

Pn = P (1 + r/m)^nm , (9)

де m - періодичність нарахування відсотку протягом року.

Приклад. На внесок до банку в розмірі 9000 грн. терміном на 5 років банк нараховує 18% річних. Яка сума буде на рахунку в кінці строку, якщо нарахування відсотків здійснюється за схемою складних відсотків щоквартально?

P₅ = 9000 (10+ 0,18/4)^5.4 = 21705,43 грн.

Розрахунки теперішньої вартості грошей здійснюють за допомогою дисконтування. Дисконтування – це зведення економічних показників різних років до порівняного в часі вигляду. Дисконтування здійснюється за допомогою коефіцієнта дисконтування, в основі розрахунків лежить формула складних відсотків.

Формула дисконтованої або приведеної вартості:

Pn

P = ───── (10)

(1+r)ⁿ

де Pn – майбутня вартість;

P – дисконтова на або приведена вартість;

1

───── - коефіцієнт дисконтування.

(1+r)ⁿ

Приклад.

Визначити поточну вартість облігації з нульовим купоном номінальною вартістю 5000 і строком погашення 12 років, якщо прийнятна норма прибутку складає 14%.

Vt = 5000 : (1 + 0,14)¹² = 5000 х 0,2076 = 1038 грн.

При нарахуванні складного відсотку m разів на рік формула (10) набуває вигляду:

P_n

P = ───── , (11)

(1+r/m)^mn

5.1.3. Визначення майбутньої вартості ануїтету

Виникають ситуації, коли отримують (виплачують) не одну суму, а декілька. Причому виплату (отримання) цих сум проводять за такими правилами: однакова сума через рівні проміжки часу за однієї й тієї самої діючої відсоткової ставки. Такий механізм припливу (відпливу) грошей одержав назву ануїтету або ренти. Прикладами ануїтету є однакові суми коштів, які перераховуються один раз на місяць на депозитний рахунок, фінансова оренда, виплати за кредитом, виплати по облігаціях, премії по страхуванню, регулярні внески до Пенсійного фонду.

Майбутню вартість ануїтету визначають як суму всіх платежів і складних відсотків, що їх нараховують на кожний платіж за період часу, який пройшов від моменту кожного платежу до моменту останнього платежу. Для розрахунку використовують формулу:

F = C/r [(1 + r) ⁿ -1] (12)

Приклад. В кінці кожного року робиться внесок на депозит в сумі 2000 грн. на умовах 9% річних при щорічному нарахуванні відсотків. Яка сума буде на рахунку через 12 років?

F = 2000/0,09 [(1 + 0,09 ) ¹² - 1] = 40281,44 грн.

Перетворимо формулу (12), щоб одержати значення С:

Fr

C = ───── . (13)

(1 + r) ⁿ - 1