7.4. Совершенные нормальные формы

Нормальные конъюнктивная и дизъюнктивная формы не дают однозначного представления функции. Такое представление получается только при совершенных нормальных формах (СНФ). СНФ называют также стандартной или же канонической нормальной формой.

Совершенная нормальная форма отличается от нормальной формы тем, что всегда содержит термы только максимального ранга и дает однозначное представление функции.

Любая ФАЛ, кроме абсолютно истинной функции, может быть представлена в единственной совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ или СНКФ) или в единственной совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ или СНДФ).

Следовательно, СНКФ - это стандартное или каноническое произведение макстермов максимального ранга данной функции, а СНДФ - стандартная или каноническая сумма минтермов максимального ранга данной функции.

СНДФ функции находят следующим образом:

выписывается ряд произведений, т.е. минтермов, всех аргументов и соединяют их знаками дизъюнкции; количество произведений должно равняться числу наборов, на которых заданная функция равна единице. В каждом минтерме над аргументом, значение которого в данном наборе равнялось нулю, ставится знак отрицания.

СНКФ функции формируют следующим образом:

формируется произведение дизъюнкций, т.е. макстермов, всех аргументов с количеством сомножителей, равным числу наборов, на которых заданная функция обращается в ноль. В каждом макстерме над аргументом, равным единице в данном наборе, ставится знак отрицания.

Пример: представить в СНДФ функцию, заданную таблично.

x₁ x2 x3 f x1 x2 x3 f

0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 0

Р е ш е н и е. В качестве минтермов, как и в предыдущих примерах, отбираются строки со значениями аргументов, на которых функция равна единице. В результате получаем СНДФ данной функции:

f(x1, x2, x3) =x₁x2x3 + x1x₂x₃ + x1x2x₃.

Способ преобразования НФ в СНФ.

Произвольная НДФ переводится в СНДФ следующим образом.

Пусть fндф = F1 - некоторый минтерм функции, представленной в НДФ. Тогда этот минтерм преобразуется следующим образом:

fсндф = F1xi F1xi =F1(xi +xi),

где xi - переменная, которая не входит в данный минтерм F1.

Если максимальный ранг для функции равен r, а минимальный ранг

j-того минтерма равен k, то предыдущее преобразование необходимо применить к j-му минтерму (r - k) раз.

Пример. Логическую функцию, заданную в НДФ:

f(x1, x2, x3, x4) = x1x2 x2x3x4 x1x3x4 x1x2x3x4

F1 F2 F3 F4

преобразовать в СНДФ.

Р е ш е н и е. Так как терм F4, как мы видим, имеет максимальный ранг и в него входят все переменные функции, то воспользуемся приемом преобразования fснф = F1xi F1xi = F1(xi +xi) поочередно к остальным трем термам:

F1 = x1x2(x3 x3) = x1x2x3 x1x2x3.

Оба члена полученного выражения умножим на (x4 x4).

В результате получим:

F1 = x1x₂x3x4 x1x₂x₃x4 x1x₂x3x₄ x1x₂x₃x₄.

Аналогично,

F2 = x2x3x4(x1 x1) = x1x2x3x4 x1x2x3x4.

F3 =x1x3x4(x2 x2) =x1x2x3x4 x1x2x3x4.

После приведения подобных членов определяем СНДФ данной функции:

f(x1, x2, x3, x4) = x1 x2x3 x4 x1x2 x3 x4 x1x2 x3x4 x1x2x3 x4 x1x2x3 x4 x1x2x3x4 x1 x2x3 x4 x1 x2 x3 x4.

Произвольная НКФ переводится в СНКФ путем следующего преоб-разования. Пусть макстерм fНКФ = H1. Тогда

fснкф = H1 xix_i = (H1 xi)(H1 x_i).

Пример. Преобразовать в СНКФ логическую функцию:

f(x1, x2, x3) = (x1 x2)(x2 x₃)(x1 x2 x3)

H1 H2 H3

Р е ш е н и е. Применяем вышеупомянутое правило преобразований поочередно к макстермам H1 и H2, так как макстерм H3, как мы видим, имеет максимальный ранг:

H1 = (x1 x2) x3x3 = (x1 x2 x3)(x1 x2 x3)+

H2 = (x2 x3) x1x1 = (x1 x2 x3)(x1 x2 x3)\

После упрощений СНКФ функции примет окончательный вид:

f(x1, x2, x3) = (x1 x2 x3)(x1 x2 x3)(x1 x2 x3)

Наконец, приведем СНКФ и СНДФ для элементарных логических функций двух аргументов:

Т а б л и ц а 7.5.

Функция Обозначение функции СНДФ функции СНКФ функции

f0 0 yt bvttn (xy)(xy)(xy)(xy)

f1 xy xy (xy)( xy)(x y)

f2 x y x y (xy)(xy)(xy)

f3 x xyxy (xy)(xy)

f4 xy x y (xy)(xy)(xy)

f5 y xyxy (xy)(xy)

f6 xy xy xy (xy)(xy)

f7 xy xy xy xy xy

f8 xy xy (xy)(xy)(xy)

f9 xy xy xy (xy)(xy)

f10 y xy xy (xy)(xy)

f11 yx xy xy xy xy

f12 x xy xy (xy)(xy)

f13 xy xy xy xy xy

f14 x / y xyxyxy xy

f15 1 xyxyxyxy yt bvttn