7.2. Свойства элементарных функций алгебры логики

Рассмотрим основные законы, аксиомы и теоремы алгебры логики

Некоторые законы обычной алгебры применимы и к алгебре логики. Например:

Закон коммутативности:

для умножения

АВ = ВА;

для сложения

A + B = B + A.

Закон ассоциативности:

для умножения

A(BC) = (AB)С,

для сложения

A + (B + С) = (A + B) + С.

Закон дистрибутивности умножения по отношению к сложению:

A(B + С) = AB + AC.

В алгебре логики действует также закон дистрибутивности сложения по отношению к умножению:

A +BС = (A + B)(A + С)

Алгебра логики имеет ряд специфических аксиом и теорем, основные из которых, необходимые для анализа и синтеза логических цепей или схем, приведены ниже.

а) б)

1) A = 1, если A 0; A = 0, если A 1;

2) Если A = 0, тоA = 1 Если A = 1, тоA = 0

3) 0 + 0 = 0; 0 0 = 0;

4) 0 + 1 = 1 1 0 = 0;

5) 1 + 1 = 1 1 1 = 1;

6)0 = 1 1 = 0;

7) A + 0 = A A 1 = A;

8) A + 1 = 1 A 0 = 0;

9) A + A = A A A = A;

10) A = A;

11) A +A = 1 AA= 0;

12) A + B + C =ABC ABC =A + B + C

(теорема де Моргана);

13) A(A + B) = A A + AB = A

(закон поглощения).

14) A +AB = A + B A(A + B) = AB

В алгебре логики широко используется также специфический закон склеивания:

15) AB +AB = B(A +A) = B (A + B)(A +B) = A

Аксиомы и теоремы, записанные слева, называются двойственными аксиомам и теоремам, записанным справа.

Двойственность определяется как изменение всех знаков операции И на знаки операции ИЛИ, всех знаков операции ИЛИ на знаки операции И, всех нулей на единицы и всех единиц на нули.

Двойственность является одним из основных свойств алгебры логики и означает, что если f(A, B, C) и f(A, B, C) - двойственные функции, то

f(A, B, C) = f(A,B,C).

Законы де Моргана являются одной из иллюстраций свойства двойс-твенности и, как уже отмечалось, могут быть сформулированы в виде:

ABC =A +B +C

A + B + C =ABC,

Из законов де Моргана вытекают следствия:

ABC = A +B +C

A + B + C = ABC.

Следовательно, появляется возможность выражать конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание, или дизъюнкцию - через конъюнкцию и отрицание. Законы де Моргана и следствия из них справедливы для любого количества переменных.

Функция сложения по модулю 2 представляется следующим образом:

A B = AB +AB = (A + B)(A +B)

Для этой функции справедливы следующие аксиомы:

A A = 0; A A A = A; A A = 1; A 1 =A; A 0 = A

На основании рассмотренных аксиом и свойств элементарных логических функций можно, например, вывести правила представления функций И, ИЛИ, НЕ через функцию сложения по модулЮ 2 и наоборот:

F = A 1;

A + B = A B AB

F D = (A B) (A + B)

Для функции Шеффера, которая может быть выражена соотношением

x1/x2 = x1x2

Характерны аксиомы:

x/x =x+ x/x = 1+ x/0 = 1+

x/1 =x+ x/0 = 1+ x/1 = x.

Функции И, ИЛИ, НЕ через функцию Шеффера выражаются так:

x1x2 = x1/x2 = x1/x2/x1/x2; x = x/x;

x1 + x2 = x1x2 =x1/x2 = x1/x1/x2/x2.

Функция Пирса (Вебба) может описываться следующими выражениями:

x1 x2 = x1 + x2 =x1x2

Для этой функции справедливы аксиомы:

x x =x; x 0 =x; x x = 0; x 1 = 0.

Функции И, ИЛИ, НЕ выражаются через функцию Пирса (Вебба) следующим образом:

x1x2 = (x1 x1) (x2 x2); x1 + x2 = (x1 x2) (x1 x2); x = x x.

В заключение обзора основных свойств логических функций подчеркнем, что логичекие выражения содержащие операции дизъюнкции и конъюнкции можно преобразовывать (раскрывать скобки, выносить общий множитель, переставлять местами члены и т.д.) по правилам алгебры, считая формально дизъюнкцию операцией сложения, а конъюнкцию - операцией умножения. Но нужно всегда четко помнить, что в алгебре логики, в отличие от обыкновенной алгебры, знак + либо знак означают логическую связку ИЛИ (OR), а знак умножения "" либо знаки , и &, означают логическую связку И (AND).