Лекции по гетеропереходам / курс лекций физика и технология полупроводниковых наноструктур / 07_ур-нение Шредингера

На границе х=0 непрерывность (dψψdx) приводит к уравнению:

k1ctg(δ) = k2

Из условия на границе x=L имеем:

k1ctg(k1L +δ) = −k2

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений, определяющую в неявном виде значение Е (или набора энергий) для заданных параметров высоты барьеров и ширины квантовой ямы.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 7, стр. 11

преобразуется к виду

sin(δ) = k1γ0 sin(k1L +δ) = −k1γ0

Проводя обратные тригонометрические преобразования, получаем

δ = arcsin(k1γ0 ) +n1π

k1L +δ = −arcsin(k1γ0) + n2π

Исключая фазовый сдвиг получаем: arcsin(k1 γ0 ) = nπ −2k1L

(n = 1, 2, …; значения arcsin берутся между 0 и π/2)

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 7, стр. 12

Это трансцендентное уравнение является конечным в нашем анализе, поскольку позволяет определить значение волнового вектора в области

h2k 2

квантовой ямы (k1), из него значение энергии ( E = 2m1 ), а затем и другие искомые параметры.

Рассмотрим графический способ решения этого трансцендентного уравнения. Введем новую переменную ξ = k1 / γ0

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 7, стр. 13

3π/2

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 7, стр. 14

Поскольку значение аргумента arcsin(ξ) ограничено от 0 до 1, это означает, что существует конечное число решений.

Наибольшее возможное решение отвечает условию ξ=1, что соответствует E=U0 (уровень размерного квантования соответствует краю зоны материала барьера)

Наименьшее возможное решение отвечает условию ξ=0, что соответствует E=0 (уровень размерного квантования на краю зоны материала ямы).

Отметим, что всегда существует по крайней мере одно решение – т.е. в симметричной прямоугольной КЯ всегда существует локализованное состояние.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 7, стр. 15

π/2

мелкая яма

глубокая яма

Физически случай мелкой ямы соответствует полупроводниковой квантовой яме, образованной материалами с малым разрывом зон на гетерогранице и/или малой ширине квантовой ямы.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 7, стр. 17

В этом случае существует единственное решение (единственный уровень размерного квантования в квантовой яме), локализованный вблизи края зоны материала барьера.

Приближенное выражение для уровня в мелкой яме:

E ≈U0 − 2m2 (LU0 )2 h

Как видно энергия локализации в этом случае (заглубление уровня по отношению к барьеру) определяется мощностью квантовой ямы (произведением ширины квантовой ямы на высоту потенциального барьера, LU0).

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 7, стр. 18

Важное следствие: размытие профиля мелкой ямы (вследствие, например, сегрегации и/или диффузии) не сказывается на энергии локализации.

U0

x

Синим обозначен профиль идеальной квантовой ямы, зеленым – с учетом диффузии.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 7, стр. 19

Например, была сформирована эпитаксиальная квантовая яма In0.1Ga0.9As номинальной толщиной L0=1 нм в матрице GaAs.

Мощность такой ямы задается произведением ее номинальной ширины на разрыв зоны (например проводимости) для 10%-InGaAs. Если предположить, что вследствие диффузии профиль индия размылся в два раза, это означает что в итоге мы имеем яму шириной 2 нм, но состава In0.05Ga0.95As. Однако, уменьшение контраста до 5% индия приведет к двухкратному уменьшению разрыва зоны (т.к. эта величина почти линейно зависит от состава).

Таким образом, знание реального профиля состава квантовой ямы (который может быть произвольной формы) не обязательно для нахождения уровня размерного квантования в мелкой (узкой) яме.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 7, стр. 20