Лекции по гетеропереходам / курс лекций физика и технология полупроводниковых наноструктур / 03_плотность состояний

Плотность тока прозрачности и плотность состояний

Аналогия между твердотельным и полупроводниковым лазерами.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 1

Инверсная заселенность возникает вследствие существенного отличия темпов релаксации электронов между различными уровнями энергии.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 2

Условие инверсии заселенности:

Вероятность заполнения электроном состояния в зоне проводимости с энергией EC (fCe(EC)) выше вероятности заполнения электроном состояния в валентной зоне с энергией EV (fVe(EV)=Ve(EV)=1-fVh(EV))

Вероятности заполнения определяются статистикой Ферми. При термодинамическом равновесии n p = ni2 и существует уровень Фреми, общий для электронов и дырок.

В случае накачки (оптической или токовой) n p > ni2

Вводятся квази-уровни Ферми для электронов FC и дырок FV, так что fCe(EC)=[1+exp((EC-FC)/kT)]-1

fVh(EV)= [1+exp((EV-FV)/kT)]-1

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 3

Получаем условие достижения инверсии:

FC-FV > EC-EV > EG

Энергетическое разделение квази-уровней Ферми превышает разделение доступных состояний электронов и дырок (больше ширины запрещенной зоны; в случае кваново-размерной активной области – больше разделения между основными состояниями для электронов и дырок).

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 4

Достижение концентраций электронов и дырок, необходимых для возникновение инверсной заселенности в активной области полупроводникового лазера, называется также выполнением условия прозрачности, т.к. при этом усиление сравнивается с поглощением – материал становится прозрачным для квантов определенной энергии

(ε = EC − EV )

Соответствующая плотность тока накачки называется током прозрачности, являющимся минимально возможным уровнем накачки, который может привести к усилению или генерации света в полупроводнике.

Для нахождения концентраций носителей (и плотности тока) необходимо также знание числа состояний, заполненных носителями заряда

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 5

Число разрешенных состояний (подуровней) в пределах данной зоны по порядку величины равно числу атомов в кристалле. Однако, эти состояния распределены в пределах зоны неравномерно. Чтобы охарактеризовать это распределение вводится функция плотности состояний (ФПС):

ρ(E)= (1V )(dNdE)

ФПС имеет размерность [энергия-1объем-1] и характеризует, как много разрешенных электронных состояний в кристалле единичного объема находится в единичном интервале энергии вблизи энергии E.

Для нахождения ФПС требуется знание плотности состояний в пространстве волновых векторов и дисперсионного соотношения (E-k)

ρ(E)= (1V )(dNdk)(dkdE)

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 6

Поскольку ионы в совершенном кристалле расположены в регулярную периодическую решетку с определенным типом симметрии (решетка Бравэ) электрон испытывает влияние периодического потенциала

U(r + R)=U(R)

для всех векторов решетки Браве R.

Согласно теореме Блоха, собственные функции ψ одноэлектронного гамильтониана:

Ĥ = -ħ2 2/(2m) + U(r)

являются произведением плоской волны на функцию с периодичностью решетки Браве

ψnk(r) = eik r unk(r)

где unk(r) = unk(r + R), n – индекс зоны (для данного k имеется много независимых собственных функций)

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 7

Альтернативная запись теоремы Блоха:

ψ(r + R) = eik R ψ(r)

Свойства объемного материала не должны зависеть от граничных условий

– граничные условия могут быть выбраны произвольно (из соображений удобства аналитических преобразований).

Граничные условия Борна – фон Кармана

ψ(r + Niai) = ψ(r) i=1,2,3

где ai – примитивные вектора решетки, Ni целое порядка N1/3, где N=N1N2N3 полное число примитивных ячеек в кристалле.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 8

Налагая граничные условия на волновую функцию, мы можем найти условие, которое определяет число разрешенных значений волнового вектора k.

Применяя теорему Блоха к граничным условиям, мы находим что

что требует чтобы

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 9

Если k записано в форме

k = x1b1 + x2b2 + x3b3

(bi – вектора обратной решетки, так что biaj = 2πδij) это уравнение требует чтобы

exp(2πiNi xi )=1

откуда

Следовательно, общая форма для блоховского волнового вектора

k = Σ mi/Ni bi

Таким образом, разрешенные волновые вектора k представляют собой точки, идущие с интервалами bi/Ni вдоль осей обратной решетки.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 10