2.7. Планирование и статистическая обработка простейшего имитационного эксперимента

Рассмотрим имитационный эксперимент, состоящий из n независимых опытов, в каждом из которых случайное событие A имеет вероятность p. Иначе, каждый опыт имеет бинарный исход: A или , да или нет, победа или поражение и т.п. Вероятность p неизвестна. Цель эксперимента - найти ее статистическую оценку.

Вероятности того, что в n опытах событие A наступит m раз, определяется распределением Бернулли

Поэтому про такой эксперимент говорят, что он выполняется по схеме Бернулли. Введем индикаторную случайную величину Z со значениями 1 и 0, такую что Z=1, если наблюдается событие A, и Z=0 в противоположном случае:

P(Z=1) = p; P(Z=0) = 1 - p.

Математическое ожидание и дисперсия Z равны

За n опытов получим m раз Zj. Очевидно, что

Математическое ожидание и дисперсия этой суммы c учетом независимости слагаемых соответственно равны

Частота события A равна отношению m к n:

Математическое ожидание и дисперсия этой статистической оценки вероятности p равны

Кроме того, в соответствии с центральной предельной теоремой случайная величина при достаточно большом n имеет приближенно нормальное распределение. Полученный результат непосредственно утверждается теоремой Лапласа для n независимых опытов.

Изложенное позволяет планировать имитационный эксперимент, выполняемый по схеме Бернулли. Действительно, наибольшая погрешность оценки вероятности события A соответствует p = 0.5:

Следовательно, если допустимое значение погрешности частоты равно , то

Обработка результатов эксперимента предусматривает построение доверительного интервала с нижней p_н и верхней p_В границами, такого что

где - доверительная вероятность. Напомним, что доверительная вероятность характеризует достоверность статистических оценок, полученных на основе выборочных наблюдений, а доверительный интервал определяет границы, выход за которые данной статистической характеристики из-за случайных колебаний имеет вероятность меньшую, чем дополнение до единицы доверительной вероятности.

Нормированная случайная величина

распределена нормально с параметрами 0 и 1. Задавшись доверительной вероятностью, по таблицам нормального закона распределения находят так что,

.

Упражнения.

1. Назовите программы-генераторы значений базовой случайной величины в известных Вам алгоритмических языках.

2. Укажите, как в п. 2.7 использована центральная предельная теорема теории вероятностей.

3. Как изменится математическая модель отражения атаки ракетной батареей ПВО, если атакующий самолет летит на произвольной высоте?