Глава 10. Моделирование непрерывных случайных функций
10.1. Определения. Основные характеристики случайных функций
Случайной функцией X(t) называется функция, значение которой при любом фиксированном t = t0 является случайной величиной [5].Если аргументом случайной функции является время, то функция называется случайным процессом.
Случайная величина X(t0) называется сечением случайной функции. На рис. 10.1 изображены реализации двух случайных функций и их сечения.
Рис. 10.1.
Примеры случайных процессов:
1) напряжение в электросети (влияние работы потребителей),
2) параметры траектории полета ракеты (влияние возмущений),
3) рельеф местности, над которой пролетает ракета,
4) нагрузки, действующие на ракету (например, влияние турбулентности атмосферы),
5) несущая способность конструкции (например, влияние аэродинамического нагрева).
Математическим ожиданием случайной функции называется неслучайная функция mx (t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.
mx (t)=M[X(t)].
Центрированной случайной функцией называется функция, которая получена вычитанием из исходной функции ее математического ожидания.
Дисперсия случайной функции Dx (t) при каждом значении аргумента равна дисперсии соответствующего сечения случайной функции.
.
Третьей важнейшей характеристикой случайной функции является ее корреляционная (автокорреляционная) функция. Корреляционной функцией двух аргументов t и t’ называется неслучайная функция Kx (t,t’) , равная ковариации соответствующих сечений.
Корреляционная функция характеризует изменчивость случайной функции (ср. рис. 10.1,а и 10.1,б).
Особый класс случайных функций составляют стационарные случайные функции. Их вероятностные характеристики не зависят от начала отсчета аргумент. Математическое ожидание и дисперсия стационарных случайных функций постоянны, а корреляционная функция зависит только от расстояния между сечениями.
10.2. Свойства корреляционной функции
Все свойства корреляционной функции стационарной случайной функции основаны на возможности переносить начало отсчета аргумента, т.е. изменять значения аргументов на произвольную величину.
Корреляционная функция зависит только от расстояния между сечениями = t - t' :
Корреляционная функция - функция четная:
3. Корреляционная функция по абсолютной величине не превышает дисперсии случайной функции:
4. Производная корреляционной функции при нулевом значении аргумента равна нулю (приводится без доказательства):
5.Если V скорость изменения случайной функции X (производная X), то
Это свойство легко устанавливается последовательным дифференцированием. На рис. 10.2 приведены некоторые характерные графики корреляционных функций.
Рис.10.2.
На приведенных графиках корреляционная функция обращается в ноль. Соответствующее значение аргумента называется интервалом корреляции. Сечения случайной функции, удаленные друг от друга на интервал корреляции – независимые случайные величины. В некоторых случаях интервал корреляции может быть бесконечно большим.