Скачиваний:
137
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
138.75 Кб
Скачать

125

Глава 12. Заброс случайной функции за заданный уровень

Рассмотрим стационарную случайную функцию Y(t) с нормальным законом распределения. Пример ее реализации приведен на рис. 12.1. Обозначим V(t) производную функции по времени:

Рис. 12.1.

П усть f(y, v) – плотность вероятности совместного распределения случайных функций Y(t) и V(t). Вероятность того, что Y(t) (y, y+dy) и одновременно V(t) (v, v+dv) равна

(12.1)

Рассмотрим полосу ( на рис. 12.1 заштрихована) шириной dy. Пусть Y(t) пересекает эту полосу со скоростью v, тогда время пребывания Y(t) в полосе dy будет равно t1,v=dy/abs(v). Если функция Y(t) пересекает выделенную полосу с той же скоростью nT раз за время T, то суммарное время пребывания Y(t) в полосе dy равно tvT=t1,vnT . Вычислим относительную долю этого времени.

С другой стороны, относительное время пребывания Y(t) в полосе шириной dy при скорости v, равно вероятности (12.1), так что дифференциал интенсивности пересечений полосы равен

Математическое ожидание интенсивности пересечений полосы dy на уровне y найдем усреднением по скорости v

Конкретизируем закон распределения. Во-первых, убедимся в независимости функций Y(t) и V(t). Для эргодических независимых функций математическое ожидание произведения центрированных функций равно нулю.

Это равенство справедливо, если y() конечно. Следовательно, в сечении t Y и V - независимые случайные величины и их закон совместного распределения таков.

Здесь учтено, что математическое ожидание скорости изменения стационарной случайной функции, конечно, равно нулю. Далее учтем, что f(v)=f(-v), поэтому

Здесь Входящий сюда интеграл - табличный и равен 0.5. Поэтому окончательно получаем

При y = Y находим число нулей функции Y(t):

Этот результат может быть использован при анализе усталостной прочности и надежности конструкции.

Теперь воспользуемся ранее полученным результатом (см. п. 10.2).

поэтому

Выразим этот результат через спектральную плотность

Пример. Белый шум в ограниченной полосе частот.

Теперь определим число забросов случайной функции Y(t) за уровень h. Это число в два раза меньше числа пересечений.

Этот результат можно использовать для определения вероятности столкновения с волной при полете крылатой ракеты над морем на малой высоте. Примем, что число забросов N за время полета T подчиняется распределению Пуассона. Тогда вероятность k забросов равна

Вероятность хотя бы одного столкновения ракеты с волной -

На рис. 12.2 приведен график зависимости этой вероятности и интенсивности забросов от бальности волнения для примера, рассмотренного в предыдущем параграфе при полете на высоте 15 м.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шенон Р. Имитационное моделирование: искусство и наука. Пер. с англ. под ред. Е.К. Масловского.- М.: Мир, 1978, 418 с.

2. Арсон Л.Д., Малашенко Л.А., Сапожников В.М. Оценка прочности и массы тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1974, 152 с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука. 1988. 480 с.

4. Кузнецов А.А., Алифанов О.М. и др. Вероятностные характеристики прочности авиационных материалов и размеров сортамента (справочник). - М. Машиностроение, 1970, 566 с.

5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. - М.: Наука. 1991. 384 с.

6. Абчук В.А. и др. Справочник по исследованию операций. Под общ. ред. Ф.А. Матвейчука - М.: Воениздат, 1979. 386 с.

7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь. 1988. 480 с.

8. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Курсовое проектирование: Учебное пособие для вузов по спец. АСУ. - М.: Высш. шк., 1988.- 135 с.

9. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. - М.: Гостехиздат. - 1957. 658 с.

10. Николаенко К.А. Вероятностные методы расчета машиностроительных конструкций. - М.: Машиностроение. 1967. 368 с.

11. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. Учебное пособие для вузов. Изд. 2-е, переработанное и доп. - М.: Машиностроение. 1973. 616 с.

12. Бородай И.К., Нецветаев Ю.А. Мореходность судов. - Л.: Судостроение. 1982. - 228 с.

13. Технология системного моделирования / Е.Ф. Аврамчук, А.А. Вавилов, С.В. Емельянов и др. ; Под общ. ред. С.В. Емельянова и др. - М.: Машиностроение; Берлин: Техник, 1988.- 520 с.

14. Харин Ю.С., Степанова М.Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике: Для мат. Спец. Ун-тов.- Мн.: Изд-во “Университетское”, 1987.- 304с

Соседние файлы в папке MD_DOC