Глава 6. Аналитическая статистика
§1. Структурные средние
Квартили делят вариационный ряд на четыре равные части: первый квартиль (Q1) показывает значение признака, которого не превышают значения 25 % единиц совокупности, второй квартиль (Q2) – 50 % (он совпадает с медианой), третий (Q3) – 75 %
Децили (D) делят упорядоченную по возрастанию значений признака совокупность на десять равных частей: первый дециль показывает значение признака, которого не превышают значения 10 % единиц совокупности, второй – 20 %, третий – 30 % и т.д. При этом пятый дециль совпадает с медианой и вторым квартилем.
Перцентиль делит ранжированную совокупность на 100 равных частей.
1) Определение структурных средних в дискретных вариационных рядах
а) Номера квартилей:
б) Номера децилей:
в
)
Номера перцентилей
2) Определение структурных средних в интервальных вариационных рядах.
а) Формулы для расчета квартилей в интервальных вариационных рядах
где для первого квартиля xQ1 - начало интервала, содержащего 1-й квартиль;
dQ1 - величина интервала, содержащего 1-й квартиль;
SQ1 -1 - накопленная частота предшествующего интервала;
fQ1 - частота интервала, содержащего Q1
б) Формулы для расчета децилей в интервальных вариационных рядах
в
)
Формулы для расчета перцентилей в
интервальных вариационных ряда.
xPi - начало интервала, содержащего i-й перцентиль;
hpi - величина интервала, содержащего i-й перцентиль;
SPi -1 - накопленная частота предшествующего интервала;
fPi - частота интервала, содержащего Pi
§2. Дисперсия
Виды дисперсии.
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть опрелена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.
Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.
Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:
где хi — групповая средняя; ni — число единиц в группе.
Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту жеквалификацию).
Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсии рассчитывается по формуле:
Правило сложения дисперсий: величина общей дисперсии равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперси.
Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.
Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.
Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из которых позволяют упростить её вычисление.
1) Дисперсия постоянной величины равна 0
2) Если все варианты значений признака уменьшить на одно число то дисперсия не изменится.
3) Если все варианты значений признака уменьшить в одно и тоже число раз (в К раз), то дисперсия уменьшится в К2 раз.
4) Если сложить средний квадрат от любой величины А , отличный от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонения от средней арифметической.
На свойствах дисперсии основываются способы вычисления которые позволяют упростить её решение.
Где К - величина интервала
А – условный ноль в качестве которого удобно использовать середину интервала имеющего наибольшую частоту ( расчёт по способу моментов)