Формула Байеса

Если событие А в результате испытания произошло, то возможно переоценить вероятность гипотез Н_i, образующих полную группу, по формуле Бейеса: ,

где Р(Н_i) – вероятность гипотезы, Р_А­(Н_i) – вероятность гипотезы Н_i после переоценки, при условии, что событие А уже произошло; Р_Нi­(А) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы Н_i .

8. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Формула Бернулли применяется для нахождения вероятности появления события А в n повторных независимых испытаниях равно K раз.

где n – число испытаний; K – число появлений события А, 0  K  n; p – вероятность появления события А в одном испытании; q = 1 – p.

Вероятность того, что событие А наступит:

а) Р_n(менее К раз) = Р_n(0) + Р_n(1) + … + Р_n(К–1);

б) Р_n(более К раз) = Р_n(К+1) + Р_n(К+2) + … + Р_n(n);

в) Р_n(не менее К раз) = Р_n(К) + Р_n(К+1) + … + Р_n(n);

г) Р_n( не более К раз) = Р_n(0) + Р_n(1) + … + Р_n(К);

д) Р_n(от К₁ до К₂ раз) = Р_n(К₁) + Р_n(К₁+1) + … + Р_n(К₂);

е) Р_n(хотя бы один раз) = 1 – Р_n(ни одного раза) = 1 – Р_n(0).

9. Повторные независимые испытания. Формула Пуассона. Условия применимости формулы Пуассона.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Если события редкие, т.е. постоянная вероятность р достаточно мала, то в этом случае применяется формула Пуассона.

где  .

10. Определение дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.

Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные значения некоторого интервала, т.е. значения дискретной случайной величины можно перечислить. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  При этом сумма всех ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

xi	х1	х2	…	xn
pi	p1	P2	…	pn

Сумма произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности называется математическим ожиданием и обозначается:

М(х)  x_i p_i . Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной величины есть сама постоянная величина: М(с)  с, т.е.

Х	с
Р	1

М(с) = с  1 = с

М(с) = с

2) Постоянный сомножитель можно выносить за знак математического ожидания: М(сх)  сМ(х). 3) Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий: М(х  у)  М(х)  М(у). 4) Математическое ожидание произведения случайной величины равно произведению их математических ожиданий. М(ху)  М(х)  М(у). 5) Математическое ожидание числа наступления события в серии n независимых испытаний с постоянной вероятностью наступления события p равна произведению. М(m)  np