Свойства вероятности:

1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна1.

2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и

3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1:

или

4. Совместные и несовместные случайные события. Теоремы сложения вероятностей совместных и несовместных случайных событий.

Случайное событие – это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти (сдача экзамена).

Несовместными называются события, если появление одного из них исключает появление другого.

События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного не исключает появление другого.

Суммой событий называется событие Д=А+В, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Для несовместных событий:

Для совместных событий:

где A и B =A*B - произведение (совмещение) событий.

5. Условные вероятности. Свойства условных вероятностей.

Условной вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется отношение числа k тех благоприятствующих А исходов, которые благоприятствуют и В, к числу m всех исходов, благоприятствующих В.

Условная вероятность обозначается P(A_B) .

По определению P(A_B) = ; если В - невозможное событие, то P(A_B) не определена.

– формула служит для определения условий вероятности в общем случае. Вероятности P(AB), P(B) называются безусловными.

6. Зависимые и независимые случайные события. Теоремы умножения вероятности зависимых и независимых случайных событий.

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет. В противном случае события являются зависимыми.

Произведением двух событии называется событие Д = А*В, состоя­щее в совместном появлении (совмещении) событий А и В.

Для независимых событий: Р(А и В) = Р(А)Р(В)

Для зависимых событий: ,

где Р_А(В) - условная вероятность, т.е. вероятность события В при условии, что событие А произошло.

7. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Полной группой называется совокупность событий А₁, А₂, …,А_n, если они

1) несовместимы, 2) единственно возможны.

Свойство вероятностей для полной группы событий:

Формула полной вероятности

Пусть событие А происходит совместно с одним из событий (гипотез) Н₁, Н₂, …, Н_n. События Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу события, т.е.

Р(Н₁) + Р(Н₂) + …+ Р(Н_n) = 1.

Вероятность события А находится по формуле полной вероятности:

или коротко

где Р(Н_i) – вероятность осуществления гипотезы Н_i, Р_Нi(А) – условная вероятность события А при этой гипотезе.