53. Признак Абеля и Дирихле сходимости знакочередующихся рядов.

Т.1(признак Абеля): 1) пусть ряд - сходится; 2) последовательность - монотонна и ограничена, тогда ряд - сходится.

Т.2(признак Дирихле): пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена, а последовательность 0, при n ,тогда ряд сходится.

54. Функциональные ряды. Сходимость функциональных рядов.

Рассмотрим ряд: (1),где ф-ии f_k(x) определены на множестве X , если зафиксировать x₀ ,тогда (2)- числовой ряд

Опред1. x₀-точка сходимости функционального ряда (1),если соответственно числовой ряд (2) сходится. Множество Е - область сходимости ряда (1),если (1) сходится во -

В обл.сходимости ряд (1) сходится к некоторой ф-ии: S(x)= -(3), для , (3)-сума ряда (1).

Опред2. Последовательность S_n(x) сходится на множестве Е равномерно ф-ии S(x),если выполнены условия: что для следует,что |S_n(x)-S(x)| .

S_n(x) S(x) при n , S_n(x)= ,тогда |S(x)-S_n(x)|=| |=|r_n(x)|.

Если (3) сходится к S_n(x) равномерно на Е,то r_n(x) на Е.

55. Равномерная сходимость функциональных рядов. Условия равномерной сходимости.

Критерий Коши: для того,чтобы : S(x)= равномерно сходился к S(x) при n на Е,необходимо и достаточно,чтобы для ,

выполнялось неравенство: | | .

признаком равномерной сходимости ряда является признак Вейерштрасса:

если члены ряда (1) удовлетворяют неравенствам |f_n(x)| a_n ,

, и числовой ряд сходится,то ряд (1) равномерно сх. в D.

Теорема: 1)признак Абеля: пусть ряд сходится равномерно на Е, а последовательность а_n (x)- ограничена и монотонна на Е,тогда -сходится равномерно.

2)признак Дирихле: пусть последовательность частичных сумм S_n(x) ряда ограничена на множестве Е,последовательность а_n (x)- ограничена на Е монотонно и равномерно на Е,тогда ряд сходится равномерно на Е.

56. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Т1. Если ф-ция f_n(x), где х  Е непрерывна в т. х0  E и ряд равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) = также непрерывна в т. х0.

Т2 .(Об почленном интегрировании ряда):

Если функциональный ряд с непрерывными членами сходится ф-ии S(x) равномерно на отрезке [a,b], то его можно почленно интегрировать на [x₀,x] ,при этом справедливо равенство: ,причем ряд сходится равномерно на .

Т3. (о почленном дифференцировании ряда):

Если ряд (1) с непрерывными дифф-ми членами на ф-ии S(x) равномерно и ряд сходится равномерно на ряд (1) равномерно сходится к непрерывно дифф-ой ф-ии S(x) и имеет место равенство:

S^’(x)= ( )^’ ,для .

57. Степенные ряды. Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара.

Степенным рядом наз. функциональный ряд вида: a₀+a₁x+a₂x²+… + a_nxⁿ = (1) x  R,членами которого являются степенные ф-ции. Числа a_n  R и наз. коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз. также ряд: a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²… + a_n(x-x₀)ⁿ = (2)

Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т. х = х₀, т.е. в этих случаях все члены,кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х₀.

Будем рассматривать степенной ряд вида (1)

Число R>0 такое,что степенной ряд (1) сходится абсолютно для х R,R) и расходится для х ,удовлетворяющих нер-ву |x|>R- наз-я радиусом сходимости степенного ряда (1) а интервал (-R, +R) наз. интервалом сходимости.

В точках x=R ,x= -R ряд может как сходиться,так и расходиться.

Если ряд(1) сходится только в точке х=0,то считают,что R=0, если сходится для х R, то R= .

Радиус сходимости можно опред-ть,используя признак Даламбера или Коши:

1) R=

2) R= - формула Коши-Адамара, если известно поведение ряда в граничных точках: x1= -R ,x2= R,то множество х [-R,R] называют областью сходимости степенного ряда.