- •1.Метрические пространства, неравенство Коши-Шварца.
- •2. Метрические пространства. Основные определения.
- •3.Векторное пространство с нормой. Евклидово пространство, понятие полноты.
- •5. Предел отображения в точке. Свойства отображений, имеющих предел в точке.
- •6.Предел и арифметические операции. Критерии Коши существования предела отображения в точке.
- •7. Предел по множеству. Предел по направлению.
- •8. Непрерывность отображений. Локальные свойства непрерывных отображений.
- •9. Равномерная непрерывность. Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •10. Частные производные. Дифференцируемость отображений. Структура матрицы дифференциала.
- •12. Необходимые, достаточные условия дифференцируемости отображений.
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Приближенные вычисления.
- •15. Геометрические приложения производной функции нескольких переменных.
- •16. Производные и дифференциалы сложных функций.
- •17. Производные высших порядков явно заданной функции
- •18.Дифференциалы высших порядков
- •19.Формула Тейлора
- •20. Формула Тейлора функции 2х переменных
- •21.Формула Тейлора с остаточным членом в формуле Пеано
- •46. Замена переменных
- •52. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •49. Понятие о n-кратных интегралах.
- •48. Геометрические и физические приложения
- •53. Признак Абеля и Дирихле сходимости знакочередующихся рядов.
- •54. Функциональные ряды. Сходимость функциональных рядов.
- •55. Равномерная сходимость функциональных рядов. Условия равномерной сходимости.
- •56. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •57. Степенные ряды. Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара.
- •58. Равномерная сходимость степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •59. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)
- •60. Формулы Эйлера.Формула Стирлинга. Применение степенных рядов к решению задач.
3.Векторное пространство с нормой. Евклидово пространство, понятие полноты.
Рассмотрим пространство и точки . Условимся считать, что . . Для векторов имеют место свойства:
1)
2)
3) 4)
5)
6)
7)
8)
Пространство с введёнными операциями 1 и 2 и свойствами 1-8 называют векторным пространством.
ОПР. Понятие отображения , отобр. множ. , где называется нормой в пространстве x, если выполнены условия:
1)
2)
3)
Множество х с введённой нормой называется нормированным векторным пространством. Норму будем обозначать ||x||. В зависимости от вида пространства норму можно задавать по разному: - сферическая норма. Или
Евклидово пространство
Пусть -векторное пространство, функция отобр. , где Е является подмножеством R и обозн. наз. Скалярным произведением x,y если выполняются свойства.
1)
2)
3)
4)
Если , то скалярное произведение xy записывается . Пространство для которого задано скалярное произведение в таком виде называется евклидовым векторным пространством.
При этом вводят символы:
- символ Кронекера. Отсюда следует, что . Число будем наз. длиной вектора х. Из этого видно, что
4.Понятие отображений. Понятие функций многих переменных.
Пусть , (где x-некоторая посл. из , а у-некоторая посл.из )
1)
2) - функция многих переменных
3)
4) -это не функция а отображение.
Говорят, что , при , если , можно указать такой томер N, что для , точка будет соед в окрестности .
Отображение f ограничено, если сущ. шар (B(b,R)) что , а сам шар содержится в если функция f ограничена на х.
Понятие функции многих переменных. Пусть , тогда f: -это функция 2-х переменных. U=f(x,y); , множество x и y, при которых выражение имеет смысл называется облостью функции . пример: для двух переменных
Для трёх переменных
5. Предел отображения в точке. Свойства отображений, имеющих предел в точке.
Точка b называется пределом отображения f при , если для найдётся такое число б>0 такое что для таким, что будет выполнено условие что при этом записывают .
ОПР. точка b наз пределом отобр f при , если для окрестность в точке b сущ проколотая б-окрестность такая, ччто если .
ОПР. вектор b наз пределом отобр f при если для сущ число , что для всех . выполняется неравенство
.
ОПР. точка b наз пределом отображения f при , если для , при . Доказательство равносильно в одномерном случае.
Теорема 1: 1) если отображение f имеет lim в точке а, то сущ окрестность в точке а в которой f ограничено. 2)если отображение f имеет lim в точке а, то этот lim единственный.
Теорема 2: чтобы было lim и отобр f=(f1,fn) при необх и достаточно, чтобы числа были lim при .
, для ).
6.Предел и арифметические операции. Критерии Коши существования предела отображения в точке.
Теорема о пределе и арифметических операциях: пусть lim при и сущ lim при ; g(x)=c, тогда сущ lim f(x)+g(x)=b+c, , где b+c,bc,f+g, fg –суммы и скалярные произведения соотв векторов.
Доказательство: пусть u-f(x), v=g(x), бu-n-мерный, вектора, u=(u1,u2,…un), v=(v1,v2…vn), тогда |(u+v)-(b+c)|≤max|(uк•vk)-(bk+ck), так как , так как для
, где б- min из {б1,б2}
Критерии коши: отображения , тогда и только тогда, когда такое что если x и y 2 вектора то
Доказательство: докажем, что если сущ lim, то выполняется условие из теоремы. Пусть сущ , для
, тогда оценим , тогда всё выполняется.