58. Равномерная сходимость степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Свойства степенных рядов:

1. Если R ,то его сумма непрерывна на интервале (-R,R) и его можнопочленно дифференцировать на всем интервале сход.и для его суммы имеет места формула:

S^‘(x)= . Т.о. степенной ряд на интервале сходимости (-R,R), R можно почленно дифф-ть количество раз

2. Операции почленного дифференцирования и интегрирования на (-R,R) не изменяют R степенного ряда.

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

59. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)

Пусть ф-я f(x) имеет в окрестности точки x₀ производные всех порядков,тогда выражение вида:

f(x)=f(x₀)+ -ряд Тейлора

если х₀=0,то ряд Тейлора имеет вид:

f(x)=f(0)+ - ряд Маклорена.

Разложение некоторых элементарных ф-ий в ряд Маклорена:

1)Разложение ф-ции е^х :

ряд Маклорена.:

радиус сходимости: R= следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

2)Разложение sinx в степенной ряд Маклорена

сходится на всей числовой оси

3) сходится на всей числовой оси

3) f(x) = (1+x)^

, - биномиальный ряд с показателем . ,|х|<1 ( = -1)

4) Разложение ф-ции ln(1+x)

сходится при –1<x<=1

5) Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сходится при -1<=x<=1

60. Формулы Эйлера.Формула Стирлинга. Применение степенных рядов к решению задач.

Функция е^x обладает важными функциональными св-ом: е^x+u = e^x e^u для любых комплексных х,u ,тогда

Эйлеровы формулы., связывающие тригонометрические функции с показательной : e^ix = cos х + i sin х, cos х= , sin х=

Стирлинга формула- формула, дающая приближённое выражение произведения n первых натуральных чисел (т. н. факториала) 1*2*...*n = n!, когда число n сомножителей велико. Стирлинга формула была найдена Стирлинга формула устанавливает приближённое равенство:

Приложение степенных рядов: с помощью степенных рядов можно вычислить:

1)приближенное вычисление

2)приближенное вычисление интегралов

3)вычисление сумм числовых рядов

4)интегрирование дифф-ых ур-ий