1.Метрические пространства, неравенство Коши-Шварца.

Метрические пространства.

Множество х для которого задана функция со свойствами:

1)

2)

3) , то функция называется метрическим пространством, а удовлетворяет свойствам 1-3, называется метрикой этого пространства. Покажем что пространство метрическое, если метрика задана формулой . Свойства 1-2 очевидны, покажем (пространство) справедливость 3-го свойства. Для этого в формуле (1.3) будем считать, что ; , тогда , отсюда тогда получим -это и есть как рассматрив.: - неравенство треугольников. Мы показали, что c (1.4) является метрическим пространством. Из (1.4) и -неравенство коши-шварца следует свойство:

Неравенство коши-шварца. -

Лема: для того, чтобы (1.2) имело место, необходимо и достаточно чтобы . Следствие: из (1.2) следует, что при t=1 (1.3)

2. Метрические пространства. Основные определения.

Метрические пространства.

Множество х для которого задана функция со свойствами:

1)

2)

3) , то функция называется метрическим пространством, а удовлетворяет свойствам 1-3, называется метрикой этого пространства. Покажем что пространство метрическое, если метрика задана формулой

. Свойства 1-2 очевидны, покажем (пространство) справедливость 3-го свойства. Для этого в формуле (1.3) будем считать, что ; , тогда , отсюда тогда получим -это и есть как рассматрив.: - неравенство треугольников. Мы показали, что c (1.4) является метрическим пространством. Из (1.4) и -неравенство коши-шварца следует свойство:

ОПР: Множество называется открытым шаром. Шар B(a,б)=V(a,б) называется ещё дельта-окрестность в точке a.

ОПР :Точка наз.внутренней точкой множества х, где , если сущ.дельта-окрестность этой точки целиком истащал в множестве а. РИСУНОК!

ОПР: Точка b называется внешней точкой множества х, где если существует б-окрестность в точке b, не содерж.точек множества х. . ОПР: точка с называется граничной точкой множества, если V ее б-окрестности содержит как внутренние так и внешние точки множества х. .

ОПР :Х называется открытым, состоящее только из внутренних точек.

Теорема:1)объединение числа множеств есть открытое множество.

2)пересечение конечного числа открытого множества, является откр.мн-во.

Доказательство: 1)пусть произвольное открытое множество, и пусть объединённое открытое множество , значит х принадлежит хотя бы одному множеству . Значит существует б-окрестность в точке х целиком лежащая в этом множестве

2)пусть -открытое множество и точка (каждому открытому множеству).

, значит существует в точке обозн.через б=min из , тогда откуда ↔,что она будет содержать - открытое множество.

ОПР. Множество называется замкнутым, если без х открыто, точка из называется предельной точкой из мн. Х, если окрестность точки соед. точки мн-ва х отличного от .

ОПР. Мн-ва Х замкнуто, тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

ОПР. , наз. Точкой прикосновения множеств х, если окрестность этой точки содержит хотябы одну точку мн-в х.

ОПР. Точка , наз. Изолированной точкой мн-в х, если сущ. б-окрестность в точке b, не содержит точек b множ. Х кроме b.

ОПР. Объединим множество х и все его предельных точек наз. Замыкающим мн-ва х.

ОПР.множества Х наз. Ограниченным, если сущ. шар такой, что .

ОПР. Ограниченное, замкнутое множество это компакт.

ОПР. Непрерывное отображение отрезка [a,b] в пространстве наз. Путем.

; 2 пути наз. эквивалентными, если сущ. строго монотонная непр. ф-ия , отобр-я отрезок ; ; множество всех эквивалентных путей называется кривой.