2.3.1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

все зависит от корней:

если они:

1) существуют и различны то y_oo= C₁ e^лх + C₂ e^лх + ... С_n е^лх

2) существуют и к одинаковых корней то y_oo= C₁хe^лх+х²C₁e^лх...C₁ х^к-1e^лх + C₂ e^лх + ... С_n е^лх

3) существуют среди корней комплексные корни то y_oo= e^Aх(C₁cosB + + C₂sinB) + ... С_n е^лх для корня л= A+iB

4) существуют среди корней комплексные кратные корни то y_oo= e^Aх(C₁cosB + + C₂sinB)х + e^Aх(C₃соsBx + + C₄sinBx)х² + ... С_n е^лх для корня л= A+iB

2.3.2.1. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

некоторые неоднородные ур-я вида

y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) ... + a_ny=f(x)

можно легко решить если они обладают особым видом правой части

если f(x) выглядит следующим образом :

1) f(x) = e^ax P_m(x) то если

а - не корень характеристического ур-я то у_чн = e^ax P_m(x)/* = полином степени m c неизвестными коэфф*/

a - корень характеристического ур-я то то у_чн = e^ax P_m(x)*x^k

k=показатель кратности корня

2) f(x) = e^ax (P_m(x) cos Bx + R_n(x)sinBx) для комплексных корней л=a+iB, тогда = e^ax (P_s(x) cos Bx + R_s(x)sinBx) где s= max(m,n)

при кратном корне выражение так же домножится на x^k как и в предыдущем пункте

2.3.2.2. Метод вариации произвольных постоянных.

2.4.1. Уравнение Эйлера.

2.5. Краевые задачи.

доп инфа, вдруг пригодится

3.1.1. Определение. Теорема существования и единственности решения. Первые интегралы, общий интеграл.

(1)y_i'= f_i(x,y1,...,y)⁽¹⁾ - i=1..n - это нормальная форма коши записи СДУ(систем ДУ)

порядок системы определяется кол-вом ур-й в ней

задача Коши: в точке х₀ нужно знать значение всех фнк

решать систему = найти n фнк обращающих систему (1) в тождество

общее ререшие:

y ₁=F(x,C₁..C_n)

.....

y_n=F(x,C_n...C_n)

это ОР должно удовлетворять условиям:

1) Сi фнки обращают СДУ в тождество

2) начальных значений Сi система разрешима относительно Ci

Сi =w(x,y₁...y_n) - 1й интеграл

все С вместе - общий интеграл

Теорема

fi удовлетворяющего условию

1) fi - непрерывана по своим аргументам в n-мерном прямоугольнике

2) удовлетворяет условию Липшитса относительно yi

если fi удовлетворяет 1) и 2) то задача коши (1) (2) имеет единственное решение на

|x - x₀| <= n , n= min(a,b/m), |fi|<m

3.1.2.1. Одно из уравнений не содержит неизвестных функций.

если думать логически то у нас имеется система че то типа такой:

y'= -3x +t + х'

x'= t + t^2

подставив 2е в 1ое получим по сути y(t) где нам не мешатеся х

а это ур-е можно решать ... .я надеюсь ...

3.1.2.2. Метод Даламбера.

3.1.2.3. Метод дифференцирования.

нужно продифференцировать 1 из ур-й и выразив нужные переменные в остальных ур-ях подсавить из в продифференцированное

и в нем должно получиться однородное уравнение или неоднородное, его надо решить подставить в исходное чтобы найти остальные переменные

при нахождении значений фнк получившиеся константы переобозначать нельзя!

3.1.3. Метод Эйлера.

3.1.4. Линейные однородные и неоднородные системы. Метод вариации произвольных постоянных.

4. Системы в симметричной форме. Первые интегралы систем.

Решим систему

(1) y_i = f_i(x,y₁...y_n)⁽¹⁾ i=1..n <= система в нормальной форме

dy₁ / d_x = f₁(x₁,y₁...y_n)

dx=dy₁ / f₁(...)

......

dx= dy_n / f_n(...)

dx = dy1/ f₁(...) = ...= dy_n / f_n(...)

x обозначим как х1

X₁(x₁,...x_n+1) =1 ( тождественно)

y₁=x₂

X₂=(x1..xn+1) =f₁

y_n=x_n+1

X_n(x₁..x_n+1) = f_n

(2)dx₁/X₁(..) = dx₂/X₂(...) = ... = dx_n+1 / X_n+1(...) ⁽²⁾ <= система в симметричной форме

вообще говоря можно совершить обратный переход от (2) к (1)

x₁=x , x₁!=0

d x₁/X₁(...) = dx₂/X₂(...) => dx₂/dx₁= X₂(...) / X₁(...)

...........

dx_n+1/dx₁= X_n+1(...)/ X₁(...)

а это по сути система в нормальной форме если обратно все переобозначить

системы в симм форме нужны чтобы решать системы неоднородных линуров

при решенияя сисетм в симм форме удобно использовать правило

равных дробей

a₁/b₁ = .. = a_n/b_n <=> ( k₁ a₁ + ... + k_n a_n) / ( k₁b₂ + .. + b_n k_n ) = A

k₁.. k_n