1.4. Линейные уравнения 1-ого порядка(ЛинУры).

A(x)y' + B(x)y = C(x) - линур 1ого порядка

A(x) != 0, тогда все равенство делим на А(х)

(1)y' + p(x)y =q(x)⁽¹⁾ - не однородное если q(x) 0

решать будем методом Лагранжа , он же метод "вариации произвольных постоянных"

если q(x)=0 то получаем однородное ДУ

(2) y' + p(x)y =0⁽²⁾ - соответствующе однородное дл я(1)

dx/dy= - p(x)y

dy/y = - p(x) dx

l n |y| = - p(x) dx + ln |c|

y_oo= C e^(- p(x) dx) - общее решение однородного ур-я

решение исходного ур-я будем искать в виде

( *)y=C(x) e^(- p(x) dx) ^(*) и подставляем это в (1)

y'= C'(x) e^(- p(x) dx) - C(x) e^(- p(x) dx)*p(x)

а теперь имеющиеся y' и y подставляем в (1) и получаем

C'(x) e^(- p(x) dx) - C(x) e^(- p(x) dx)*p(x) + p(x)* C(x) e^(- p(x)

dx)= q(x)

сокращаем и получаем:

C '(x)= q(x) e^( p(x) dx)

C (x) = q(x) e^( p(x) dx) + A =>

y_он= ( q(x) e^( p(x) dx) + A)* e^(- p(x) dx) // из (*)

это ответ

1.5. Уравнение Бернулли.

y' + p(x)y =q(x) y^n

если

n=0 - линейное

n=1 - УсРП

n>1 - ур-е Бернулли

как решать

делим обе части на y^n

делаем замену y^(1-n)=z : (1-n)y^(-n)y'=z'

после подстановки получаем линур 1 порядка

!!!! в конце производится обратная замена и проверяется У=0 на принадлежность к ответу

1.6. Уравнение Риккати.

(1)y' + p(x)y=q(x) y^2 + r(x) ⁽¹⁾ - ур-е Риккати

как решать

заменой y=y₁ + z

где y₁ - частное решение

y₁' + z' + p(x)y₁ +p(x)z = q(x)y₁^2 + 2 q(x) y₁z + q(x)z^2 + r(x)

все что ___ сократится(смотри (1))

а все что останется - хз как решать ибо алгоритма нет

1.7. Уравнения в полных дифференциалах(УвПд)

(1) M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0 - ур-е в полных дифф-лах если u(x,y), полный дифф-л которого есть выражение , стоящее в левой части

du = M(x,y) dx + N(x,y) dy

Теорема 1.

для того чтобы уравнение 1 было УвПД <=> (необходимо и достаточно) чтобы

M / y = N / x, x,y

Довк-во

Необходимость

дано (1) - УвПД => u

du = M(x,y) dx + N(x,y) dy

du= U'_x dx + U'_y dy

U'_x = M(x,y) U'_y = N(x,y)

U'_xy = M'_y(x,y) U'_yy = N'_x(x,y) - т.к. смешанные производные равны то

M'_y(x,y) = N'_x(x,y) <=> M / y = N / x, x,y

Достаточность

M / y = N / x, x,y

u du= M(x,y) dx + N(x,y) dy

U'_x = M(x,y)

U'_y = N(x,y)

U= M(x,y) dx + C(y)

U'_y = / y M(x,y) dx + C'(y) = M(x,y) / y dx + C'(y) =

= N(x,y) / x dx + C'(y) = N(x,y) + C'(y) =

N(x,y) - N(x₀,y) +C'(y) = N(x,y)

C'(y) = N(x₀,y)

C(y) = N(x₀,y) dy + A

U= M(x,y) dx + N(x₀,y) dy + A

du =0

u=B

M(x,y) dx + N(x₀,y) dy =B-A = U -A

если раскрыть интегралы то получится простое ур-е , не ДУ

1.8. Уравнения с интегрирующим множителем.

M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0

M / y != N / x

иногда можно подобрать такое m(x,y) что если ур-е умножить на него то оно станет УвПД

m(x,y) M(x,y) dx + m(x,y)*N(x,y) dy =0

mM / y = mN / x

есть 3 случая :

m=m(x)

m=m(y)

m=m(x,y)

1 случай

m=m(x)

m M / y = m N / x + N m / x

m( M / y - N / x)=N m / x | *dx /m /N и интегрируем

1/n( M / y - N / x) dx = dm/ m

ln |m| = ф(х) dx + ln|c| // где ф(х) = 1/n( M / y - N / x)

m= C e^( ф(х)dx)

2 случай

делается абсолютно точно так же и

m=C e^(к(y)dy)

3 случай

m=m(x,y)

m M / y + M m / y = m N / x + N m / x

M m/ y - N m/ x = m( N / x - M / y)

и аналогично