1. Предмет и метод вычислительной математики
Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием компьютеров. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач.
Выч Эксперимент (ВЭ) - исследование, реализация процессов средствами ВычМата
5 этапов ВЭ:
1) мат формулировка задачи( выбор мат модели)
а) проверяется правильность входных данных
б) проверяется, имеет ли задача вообще решение
в) единственное ли решение имеет задача (если их несколько ото отделить решения)
г) проверить, не имеет ли задача аналитического решения, или частные случаи где задача имеет решение
2) построение приближенного метода решения задачи и написание вычислительного алгоритма
выч. алгоритм - последовательность арифм .и лог. операций, с помощью которых находится решение задачи
3) программирование :
если алгоритм пишем сами:
а) отладка
б) оптимизация
в определенных случаях можно юзать спец проги wolfram mathematic mathCad
4) проведение расчетов
а) тестирование
б) проведение серии расчетов
5) анализ полученных результатов и уточнение полученной модели
Структура погрешности
4 источника погрешности:
- мат модель
- исходные данные
- метод - приближенный
- погрешность округления
погрешность исходных данных приводит к неустранимой погрешности.
появляется при измерениях приборами
Ax = y
А - оператор
х - класс исходных данных
у - класс искомых данных
оператор А заменяется приближенным _А
_А - приближенное значение оператора А
_х=х+∆х - с погрешностью: _А_х=_у
погрешность метода дб в 2-5 раз меньше погрешности исходных данных
погрешности округления:
- абсолютная погрешность
- относительная погрешность
Корректность:
задача
называется Корректно
поставленной
если для
входных
данных Х из класса решения У:
-
- !
- устойчиво по вх данным
погрешность:
у
+
у
= А(х+
х)
у = А(х+ х) - Ах
Если решение непрерывно зависит от вх данных т.е. всегда:
|| y||->0 при || x|| ->0 то решение устойчиво по вх данным иначе задача не устойчива по входным данным
(русский вариант: если малое изменение х сильно влияет на у то не устойчива)
y=Ax
->
- называется корректным если существует
и единственное приближение решения
для любых входных данных х и оно устойчиво
относительно всех ошибок в исходных
данных и промежуточных выкладках
2. Метод исключения Гаусса
Вычислим
множители для всех строк, начиная со
второй (
):
.
Умножим
первую строку на i-ый
множитель и сложим с i-ой
строкой для всех
.
В результате получим нулевой первый
столбец (кроме элемента
).
Отбросим первую строку и первый столбец,
с оставшейся системой уравнений порядка
проделаем ту же процедуру: для всех
строк определим множители, умножим
первую (из оставшихся) строку на i-ый
множитель и прибавим к i-ой
строке
.
В полученной системе снова выбросим
первую строку и первый столбец. И так
продолжаем процедуру, пока не получим
систему уравнений первого порядка.
Затем соберем все отброшенные уравнения
в систему. Эта система линейных уравнений
будет иметь верхнюю треугольную матрицу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Систему начинаем решать с последнего уравнения (с одним неизвестным), в результате получаем
,
.
Получение системы уравнений с треугольной матрицей называется прямым ходом в процедуре Гаусса, а вычисление неизвестных – обратным ходом.
Замечание 1. Вычисления нельзя производить, если на каком-либо шаге прямого хода получился равный нулю диагональный элемент. Перестановкой строк можно переместить отличный от нуля элемент на главную диагональ и продолжить вычисления. Если окажется, что все элементы столбца ниже диагонального тоже равны нулю, то определитель системы равен нулю, и система не имеет решения.
Замечание 2. Если элемент на главной диагонали мал, то эта строка умножается на большие множители, что приводит к значительным ошибкам при вычитании. Этот недостаток устраняется, если использовать метод Гаусса с выбором главного элемента.