16. Метод Крылова
пусть есть матрица А = Matrix[n](aij) (1)
-
называется собственным значением
матрицы А если:
,(2)
det(A-
)
= 0 = (-1)n(
-
p1
- p2
- .... - pn)
= 0
проблема собственных значений бывает полная и частная (найти все или нет)
Метод Крылова
А обращает в 0 свой характеристический многочлен
Pn
- коэффициенты
вообще говоря суть метода Крылова - найти P1 .. Pn
(4)
=>
(5)
(6),
подставим (6) в (5) и получим
(7)
(8)
(9)
если матрица С получилась вырожденной то неудачно взято начальное приближение, нужно замутить бектрекинг с точкой возврата на выбор начального приближения
вывод:
это метод вычисления Р
алг в общем виде:
1) берем y0, строим (6)
2) составляем система (9), решаем ее, например, гауссом, получили p1.. pn
3) после метода Крылова находим
17. Определение собственных векторов в методе Крылова
есть
..
(10) p1....
pn
..
(11) - линейно не зависимые вектора базиса.
искомые собственные вектора(СВ)
разложим
по СВ
(12)
(13)
учтем
,
,....,
,
из (13) получим
(14)
из (12) и (14) имеет
(15)
и
причем
и по схеме Горнера (???wtf)
,
j=1..n-1
мы построили линейную комбинацию для x1
для
остальных
(19)
18. Метод Данилевского
До определения коэффициентов характеристического уравнения матрицу A/* A= matrix[n](aij)*/ с помощью n-1 преобразований подобия заменяют подобной ей матрицей Фробениуса
= P
где pi - коэффициенты ее характеристического многочлена
S: P = S-1AS
На первом этапе делаю следующее:
(an1,an2,..,ann) -> ( 0,0,...,1,0), при условии что ann-1 !=0
потом все эл-ты n-1 столбца делим на ann-1 (an1,an2,..,1,ann) и теперь из каждого столбца вычитают n-1й умноженный на anj т.е.
где
B=AMn-1
где
(матрица
С
подобна матрице А);
где
Шаг 2:
Матрицу
С преобразуем в D
Теперь повторяем все вышесказанные
для n-2
столбца и так далее n-1
раз и получим форму Фробениуса
теперь
находим
:
- аналитически
- метод хорд\касательных и т.д
- Лобачевского
19. Вычисление собственных векторов по методу Данилевского
λ - собственные значения которые уже известны
дано λ,А,Р
-
собственный вектор P(см
18й билет)
=
0
получим
...
20. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора
(A
- λE) =0
-
собственные вектора
Определение
Первым собственным значением
называется наибольшее по модулю
собственное значение матрицы А
нахождение 1ого СЗ является частной проблемой собственных значений
пусть
у А ∃!
собственное значение тогда
Теорема Перрона
если А - действително(е,я?????) и все эл-ты А >0 то - действительное число
Итерационный метод нахождения 1ого СЗ
возьмем произвольный вектор и разложим по собственному вектору
(1)
A - итерация вектора
а
считать мы будем
...,
.
разложим N-ую
итерацию по этому базису
,
m
=1,2,3....
/*
*/
Собственный вектор разложим по базису
(3) подставим в (2)
будем
полагать что с1
!=0
- этого всегда можно добиться
Вывод:
1)
берем произв. вектор
(m=0)
2)
вычисляем m+1-ию
итерацию
3) находим N-ое приближение 1ого СЗ
4) находим (n+1)ое приближение
5) сравниваем
если
условие выполняется то
если нет то в пункт 6
6)
нормируем вектор
21. Интерполирование функцией
22. конечные разности и их свойства
23. первая интерполяционная формула ньютона
24. вторая интерполяционная формула ньютона
25. интерполяционная формула лагранжа
26. оценка погрешности формулы Лагранжа
Rn(x)= f(x) - Ln(x)
Rn(xi) =0 i=0..n
будем изучать что на [a;b] фнк имеет до n+1 производные
введем ψ(x) = f(x) - Ln(x) - k Πn+1(x) (10) //k=? = const
ψ(x) имеет n+1 корень
подберем
так чтобы ψ(
)
=0,
,
!=0
(11)
Правило Ролля ( Тролля))
найдется
такая точка Ы что
тогда на концах [Ыi,
Ыi+1]
найдется такая формула
=
(12) =>
(13)
если
сравнить (11) и (13) то
,
