33. Формула Симпсона

Суть приёма заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленом второй степени p₂(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Получим:

Если подынтегральная функция четырежды дифференцируема, то:

34. Общая формула трапеций( правило трапеций)

35. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

36.Правило Рунге

Правило Рунге для оценки погрешности результата численного интегрирования. Пусть и - два приближенных значения найденных по одной и той же формуле при количестве частей разбиения и отрезка . Тогда более точное значение этого интеграла можно найти по формуле

где m– порядок остаточного члена выбранной формулы (например, для формулы трапеций , для формулы Симпсона ).

(J – английская «И» - прим. оцфровщика)

Необходимо знать порядок(m) точности O(h^m)

m для Симсона = 4

m для трапеций = 2

37. Квадратурные формулы наивысшей степени точности (формула Гаусса)

Рассмотрим y = f(t), t [-1; 1]

постановка задачи: Подобрать такие t1, t2, …, tn и коэффициенты A1, A2, …, An:

= (23?)

Чтобы эта квадратурная формула была точной для всех компонентов f(t) наивысшей возможной степени N = 2*n – 1

Теорема: Для того чтобы квадратурная формула (23) была точной для полиномов до N включительно, необходимо и достаточно чтобы она была точной для всех функций вида (24)

1, t, t², …, tⁿ (24)

Необходимость очевидна:

Достаточность:

= =

= = ,

ч.т.д.

необходимо заметить что

=

k = 0, …, N

Таким образом для решения задачи необходимо определить A[i],t[i] и решить систему

Система уравнений:

(26)

........

= 0

Будем решать систему (26) с помощью полиномов Лежандра

f(t) = t^k * p_n(t) k = 0,1,…,2*n – 1

p_n(t) = * (t² - 1)ⁿ - полином Лежандра

Важнейшие Алгебраические свойства:

1. на концах отрезка p_n(1) = 1

p_n(-1) = (-1)ⁿ n = 0,1,2…

2. , Q(t) - любой полином степени k<n

3. полином Лежандра p_n(t) имеет N различных действительных корней /* 1 и -1 != корни*/

Примеры полиномов Лежандра:

• p₀ (t) = 1

• p₁(t) = 1

• P₂(t) = ½ * (3*t² – 1)

• P₃(t) = ½ * (5*t³ – 3*t)

из 2ого свойства получим

- (28)

, k < n

= 0 (29) k = 0,1,…, 2*n – 1

формула (29) будет выполнятся для всех если

P_n(t_i) = 0, I = -, 1,…,n-1 (30)

Формула (23) где t_i корень полинома Лежандра p_n(t), а A_i, i=1..n, определяется системой (26) называется квадратурной формулой Гаусса.

Использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления

Замена переменных

x = (b+a) / 2 + ((b - a) / 2)*t

a<=x <= b: -1<=t<=1; dx = (b-a)/2 dt

= ( (b - a)/2 ) *

Применим формулу Гаусса:

= ((b - a) / 2)* , (31)

Где x_i = (b+a) / 2 + ((b - a) / 2)*t_i

p_n(t_i) = 0

R_n =

подинтегральная фнк должна быть 2n раз нерпрывно дифференцируема.

Формула гаусса более точная, большой гладкости от фнк