- •Введение
- •§1. Математическая теория динамики развивающихся систем
- •1.1. Основные понятия
- •1.1.1. Некоторые свойства разделяющихся систем.
- •1.1.2. Понятие математической модели.
- •1.2. Классические методы описания динамических систем.
- •1.2.1. Качественная теория динамических систем.
- •1.2.2. Редукция сложных моделей.
- •§2. Динамические модели в экономике
- •2.1. О классификации моделей.
- •2.1.1. Макромодели экономического роста.
- •2.1.2. Микромодели равновесия.
- •2.1.3. Макромодели равновесия.
- •2.1.4. Модели глобальной динамики.
- •2.2. Некоторые примеры модели.
- •2.2.1. Классические модели.
- •Глава I. Знакомимся с математическим моделированием
- •§ 1. Зачем нужны модели?
- •§ 2. Примеры математических моделей.
- •А функция
- •§ 3. Математические модели и экономика
- •3.1. Знакомимся с математическим моделированием
- •Немного истории.
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава II. Линейная алгебра в экономике
- •§ 1. Какие бывают задачи линейного программирования?
- •Контрольные вопросы и задания
- •§2. Займемся рыбоводством. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§3. Как распорядиться запасами сырья: произвести из него продукцию или выгодно продать? Двойственные задачи линейного программирования
- •Взаимно-двойственные задачи линейного программирования
- •Основные теоремы теории двойственности
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 4. Повысим рентабельность. Задача дробно-линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§5. Многофакторные производственные функции
- •Степенная производственная функция (функция Кобба-Дугласа)
- •Функция с постоянными пропорциями
- •Задания
- •§ 6. Способы задания функций двух независимых переменных. Область определения
- •Главаiii. Линейные балансовые модели в экономике
- •§ 1. Понятие о межотраслевом балансе Предварительные замечания
- •Задания.
- •§ 2. Межотраслевая балансовая модель и ее свойства
- •Построение балансовой модели
- •§3. Задачи, решаемые с помощью балансовой модели
- •Два способа получения значений коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат
- •Задания
- •Свойства технологических коэффициентов
- •Задания
- •Коэффициенты косвенных затрат
- •Задание
- •Основные соотношения и формулы
- •§4. Коэффициенты прямых и полных затрат труда и капиталовложений.
- •§5. Полные и суммарные затраты труда и капиталовложений
- •Контрольные задания
- •Вопросы и задания для проведения собеседования по материалу главы III.
- •Глава IV максимизация полезности. Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты
- •§1. Функция полезности. Задача потребительского выбора
- •Имеем приближенное равенство
- •Примером функции полезности может служить функция
- •§2. Решение задачи потребительского выбора и его свойства
- •Выписываем функцию Лагранжа
2.2. Некоторые примеры модели.
2.2.1. Классические модели.
Модели по В. Леонтьеву. Этот класс моделей относится к моделям типа «затраты – выпуск», где уровень выпуска каждого продукта пропорционален его суммарным затратам во всех других отраслях. Основными элементами и параметрами модели являются матрица нормативов прямых затрат, полный (валовой) выпуск продуктов за единицу времени, запас продуктов и чистый выпуск продуктов за единицу времени.
Модели неймановского типа. В этом классе моделей учитывается возможность совместных выпусков продуктов некоторыми производственными процессами, а каждый производственный процесс использует некоторое сырье, ресурсы и т.п. В модель входят матрица выпуска и затрат, вектор интенсивностей производственноых процессов, уровень запаса продуктов и ассортиментного набора продуктов.
Модели по Р. Харроду. Модели данного классам описывают динамику макроэкономики. Накопление и потребление составляют постоянную долю в национальном доходе, а рост производственных фондов зависит от темпа роста капиталовложений. В моделях учитываются национальный доход, объем потребления, объем накопления, инвестиции (капиталовложения), капитал (производственные фонды).
2.2.2 ПИ-модели.
Дальнейшим развитием леонтьевской модели является ПИ-модель развития производства. Эта модель предназначена для решения ряда экономических задач в условиях расширения производства и перестройки его структуры. Другими словами , ПИ-модель хорошо приспособлена для описания макроэкономики как развивающейся системы и в силу этого представляет особый интерес для данной работы. В частности, многие из особенностей ПИ-модели могут быть использованы и могут оказать существенную помощь при решении экономических задач в рамках динамических моделей, предлагаемых в настоящей работе.
В ПИ-модели на экономическую систему не накладывается требования полной нагрузки производственных мощностей, полной занятости, полного использования свободного продукта и заданного уровня потребления, обычно имеющие место в других моделях. Вместо них вводятся следующие более слабые гипотезы:
выпуск совокупного продукта ограничен имеющимися мощностями и трудовыми ресурсами;
свободный продукт используется на инвестиции, перестройку мощностей и на создание запасов;
потребление не может быть меньше некоторого заданного уровня.
Существует ряд вариантов ПИ-модели, связанных с учетом промышленных лагов, детализацией процесса создания новых мощностей и т.д. Первоначально ПИ-модель была описана конечно-разностными соотношениями, для которых в дальнейшем были предложены непрерывные аналоги. Поскольку в данной книге в основном используется непрерывная форма записи динамических систем, то ниже приведена простейшая, непрерывная ПИ-модель описываемая следующими уравнениями:
X(t)=A(t)x(t)+y(t),
y(t)=B(t)
где X – вектор валовых выпусков в единицу времени, А – технологическая матрица, Y – вектор спроса в единицу времени, v- вектор производственных мощностей, В – матрица фондоемкости, - вектор запасов продуктов, с – потребление в единицу времени. Функцииv, , с можно рассматривать как управление. Приведенные выше гипотезы накладывают следующие ограничения на функции модели:
где - количество трудовых ресурсов, а0(t) характеризует прямые затраты труда, с0(е) – гарантированный уровень потребления. При t=0 задана структкра производственных мощностей:
v(0)=v0
В рамках этой модели можно ставить различные оптимизационные задачи, например задачу перестройки структуры экономики на заданном отрезке времени [O,T] при одновременной максимизации уровня потребления:
v(T)= vT,
Постановки, близкие к этой задаче, возникают и в рамках предлагаемого класса динамических моделей, некоторые результаты их исследования приведены ниже.
В заключении отметим, что по сравнению с ПИ-моделями в рассматриваемых в данной работе динамических моделях введена одна важная модификация, а именно, структура производственных мощностей детализирована по времени их создания, что позволяет проводить более глубокую оптимизацию функционирования мощностей с учетом их амортизации и роста производительностей вследствие научно-технического прогресса. Это приводит к существенному усложнению привлекаемого математического аппарата.