- •Введение
- •§1. Математическая теория динамики развивающихся систем
- •1.1. Основные понятия
- •1.1.1. Некоторые свойства разделяющихся систем.
- •1.1.2. Понятие математической модели.
- •1.2. Классические методы описания динамических систем.
- •1.2.1. Качественная теория динамических систем.
- •1.2.2. Редукция сложных моделей.
- •§2. Динамические модели в экономике
- •2.1. О классификации моделей.
- •2.1.1. Макромодели экономического роста.
- •2.1.2. Микромодели равновесия.
- •2.1.3. Макромодели равновесия.
- •2.1.4. Модели глобальной динамики.
- •2.2. Некоторые примеры модели.
- •2.2.1. Классические модели.
- •Глава I. Знакомимся с математическим моделированием
- •§ 1. Зачем нужны модели?
- •§ 2. Примеры математических моделей.
- •А функция
- •§ 3. Математические модели и экономика
- •3.1. Знакомимся с математическим моделированием
- •Немного истории.
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава II. Линейная алгебра в экономике
- •§ 1. Какие бывают задачи линейного программирования?
- •Контрольные вопросы и задания
- •§2. Займемся рыбоводством. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§3. Как распорядиться запасами сырья: произвести из него продукцию или выгодно продать? Двойственные задачи линейного программирования
- •Взаимно-двойственные задачи линейного программирования
- •Основные теоремы теории двойственности
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 4. Повысим рентабельность. Задача дробно-линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§5. Многофакторные производственные функции
- •Степенная производственная функция (функция Кобба-Дугласа)
- •Функция с постоянными пропорциями
- •Задания
- •§ 6. Способы задания функций двух независимых переменных. Область определения
- •Главаiii. Линейные балансовые модели в экономике
- •§ 1. Понятие о межотраслевом балансе Предварительные замечания
- •Задания.
- •§ 2. Межотраслевая балансовая модель и ее свойства
- •Построение балансовой модели
- •§3. Задачи, решаемые с помощью балансовой модели
- •Два способа получения значений коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат
- •Задания
- •Свойства технологических коэффициентов
- •Задания
- •Коэффициенты косвенных затрат
- •Задание
- •Основные соотношения и формулы
- •§4. Коэффициенты прямых и полных затрат труда и капиталовложений.
- •§5. Полные и суммарные затраты труда и капиталовложений
- •Контрольные задания
- •Вопросы и задания для проведения собеседования по материалу главы III.
- •Глава IV максимизация полезности. Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты
- •§1. Функция полезности. Задача потребительского выбора
- •Имеем приближенное равенство
- •Примером функции полезности может служить функция
- •§2. Решение задачи потребительского выбора и его свойства
- •Выписываем функцию Лагранжа
Имеем приближенное равенство
(4)
(см. рис. 7).
Из (3) и (4) следует важное приближенное равенство
(3)
Отношение показывает, на сколько должен индивидуум увеличить (уменьшить) потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей
(Это обстоятельство геометрически интерпретируется так: точки принадлежат одной и той же линии безразличия (см. рис.7).) Поэтому дробь принято называтьнормой замены первого продукта вторым на потребительском наборе , а производную -(которая равна предельному значению дробипри ) - предельной нормой замены первого продукта вторым.
Примером функции полезности может служить функция
(6)
где
Действительно, имеем
т.е. выполнены свойства 1') и 2') функции полезности. Свойство 3') не выполнено, так как смешанные вторые частные производные функции равны нулю.
Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.
Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. , гдеи - рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а I - доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины , и I заданы.
Формально задача потребительского выбора имеет вид:
при условиях (7) (7)
,
.
Допустимое множество (то есть множество наборов благ, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой (см. рис. 9.3). На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо - вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым множеством.
§2. Решение задачи потребительского выбора и его свойства
Вначале остановимся на некоторых важных свойствах задачи потребительского выбора. Во-первых, решение задачи сохраняется при любом монотонном (то есть сохраняющем порядок значений) преобразовании функции полезности. Поскольку значение было максимальным на всем допустимом множестве, оно остается таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остается неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы. Отметим, что свойство 1) должно присутствовать у любой функции полезности; свойства 2) и 3) могут при ее монотонных преобразованиях теряться или приобретаться (рассмотрите это самостоятельно на примере функции. Последнее важно для иллюстрации того факта, что если функция полезности в задаче потребительского выбора не обладает свойствами 2) или 3), это вовсе не означает, что данная задача не может описывать реальное поведение потребителя.
Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз .
Это равнозначно умножению на положительное число обеих частей бюджетного ограничения , что дает неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доходI не входят в функцию полезности, задача остается той же, что и первоначально.
В приведенной постановке задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования - см. главу 8, раздел 3. Однако если на каком-то потребительском наборе бюджетное ограничение будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор , максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е.. Графически это означает, что решение задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (см. рис. 8), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукт: и .
Мы также будем считать, что в оптимальной точке условия выполняются автоматически, вытекая из свойств функции . Как правило, это действительно так. В то же время, если условия неотрицательности переменных не включать в явном виде в условие задачи, то она становится существенно проще с математической точки зрения.
Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение этих двух задач одно и то же)
при условии (8)
Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.