- •Введение
- •§1. Математическая теория динамики развивающихся систем
- •1.1. Основные понятия
- •1.1.1. Некоторые свойства разделяющихся систем.
- •1.1.2. Понятие математической модели.
- •1.2. Классические методы описания динамических систем.
- •1.2.1. Качественная теория динамических систем.
- •1.2.2. Редукция сложных моделей.
- •§2. Динамические модели в экономике
- •2.1. О классификации моделей.
- •2.1.1. Макромодели экономического роста.
- •2.1.2. Микромодели равновесия.
- •2.1.3. Макромодели равновесия.
- •2.1.4. Модели глобальной динамики.
- •2.2. Некоторые примеры модели.
- •2.2.1. Классические модели.
- •Глава I. Знакомимся с математическим моделированием
- •§ 1. Зачем нужны модели?
- •§ 2. Примеры математических моделей.
- •А функция
- •§ 3. Математические модели и экономика
- •3.1. Знакомимся с математическим моделированием
- •Немного истории.
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава II. Линейная алгебра в экономике
- •§ 1. Какие бывают задачи линейного программирования?
- •Контрольные вопросы и задания
- •§2. Займемся рыбоводством. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§3. Как распорядиться запасами сырья: произвести из него продукцию или выгодно продать? Двойственные задачи линейного программирования
- •Взаимно-двойственные задачи линейного программирования
- •Основные теоремы теории двойственности
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 4. Повысим рентабельность. Задача дробно-линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§5. Многофакторные производственные функции
- •Степенная производственная функция (функция Кобба-Дугласа)
- •Функция с постоянными пропорциями
- •Задания
- •§ 6. Способы задания функций двух независимых переменных. Область определения
- •Главаiii. Линейные балансовые модели в экономике
- •§ 1. Понятие о межотраслевом балансе Предварительные замечания
- •Задания.
- •§ 2. Межотраслевая балансовая модель и ее свойства
- •Построение балансовой модели
- •§3. Задачи, решаемые с помощью балансовой модели
- •Два способа получения значений коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат
- •Задания
- •Свойства технологических коэффициентов
- •Задания
- •Коэффициенты косвенных затрат
- •Задание
- •Основные соотношения и формулы
- •§4. Коэффициенты прямых и полных затрат труда и капиталовложений.
- •§5. Полные и суммарные затраты труда и капиталовложений
- •Контрольные задания
- •Вопросы и задания для проведения собеседования по материалу главы III.
- •Глава IV максимизация полезности. Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты
- •§1. Функция полезности. Задача потребительского выбора
- •Имеем приближенное равенство
- •Примером функции полезности может служить функция
- •§2. Решение задачи потребительского выбора и его свойства
- •Выписываем функцию Лагранжа
Взаимно-двойственные задачи линейного программирования
Задачи 1 и 2 дают пример пары симметричных двойственных задач. В общем виде такие задачи могут быть записаны так:
З а д а ч а 1.
Задача 2.
Таким образом, две задачи линейного программирования называются симметричными взаимно-двойственными, если:
а) в каждой задаче все неравенства в системе ограничений одного смысла, причем если эти неравенства смысла «≤», то функция цели стремится к максимуму, в другой задаче – все наоборот;
б) коэффициенты при неизвестных в функции цели одной из задач служат свободными членами в системе ограничений двойственной задачи; свободные члены в функциях цели обеих задач одинаковы;
в) если одна задача содержит n неизвестных и m ограничений, то в другой из них наоборот, m неизвестных и n ограничений;
г) матрицы коэффициентов при неизвестных могут быть получены одна из другой с помощью операции транспонирования (замены строк столбцами);
д) все неизвестные в обеих задачах неотрицательны.
Пример. Построим задачу, двойственную данной, если исходная задача имеет вид:
Прежде чем приступить к построению двойственной задачи, нам предстоит «причесать» данную систему ограничений, ибо она состоит из двух неравенств разного смысла.
Функция цели f стремится к максимуму, поэтому смысл обоих неравенств должен быть «≤». Умножив обе части первого неравенства на -1, придем к задаче, для которой может быть построена симметричная двойственная задача.
Задача 1.
Задача 1 содержит три неизвестных и два ограничения, поэтому в двойственной должны быть, напротив, две переменные, например y1 и y2, и три ограничения.
Задача 2. записывается следующим образом:
Основные теоремы теории двойственности
Вернёмся к задачам 1 и 2. При их решении мы, в частности, получили . Оптимальные значения функций цели совпали. Случайно ли это? Ответ на этот вопрос даёт первая теорема двойственности, которую приведём без доказательства.
Теорема 1. Если одна из взимно-двойственных задач имеет оптимальный план, то другая также имеет оптимальный план. При этом соответствующие им оптимальные значения функций цели и равны между собой.
Познакомимся ещё с одной интересной и полезной теоремой. Она позволяет найти оптимальное решение двойственной задачи, не решая её! Называется эта теорема второй основной теоремой двойственности. Прежде чем её сформулировать, проделаем следующие преобразования: ограничения взаимно-двойственных задач запишем в форме уравнений. К левой части каждого неравенства в задаче 1 прибавим вспомогательную неотрицательную переменную, что поможет восстановить нарушенный баланс:
(1)
Неотрицательные «довески» позволили уравнять левые и правые части ограничений.
Точно также поступим и в отношении системы ограничений задачи 2. Только здесь неотрицательные вспомогательные переменные придётся вычитать из левых частей неравенств:
(2)
Системы линейных уравнений (1) и (2) содержат по m + n неизвестных. В первой из них n основных и m вспомогательных, а во второй – наоборот: m основных и n вспомогательных. Запишем все ив таблицу:
1
|
Основные переменные |
Вспомогательные переменные |
(А)
| ||
2
| ||
(В)
|
Вспомогательные переменные |
Основные переменные |
Переменные, находящиеся в одном и том же столбце таблицы, будем называть соответствующими.
Теорема 2. Если в оптимальном плане одной из взаимно-двойственных задач значение основной переменной положительно, то соответствующая ей вспомогательная переменная другой задачи равна нулю. И наоборот, из положительности вспомогательной переменной следует равенство нулю соответствующей ей основной переменной в оптимальном плане двойственной задачи.
Покажем теперь, как, используя вторую теорему двойственности можно найти оптимальный план двойственной задачи. Мы нашли графическим способом оптимальный план в задаче В2. Найдём оптимальный план для задачи А2. Перейдём от неравенств к уравнениям так же, как это делается при переходе к задаче канонической формы.
Уравнения для задачи А2 имеют вид:
а)
а для задачи В2:
б)
Составим таблицу соответствия переменных:
Основные
|
Вспомогательные | |||
x1
|
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
?
|
? |
0 |
0 |
0 |
0
|
0 |
5 |
1 |
2 |
y3
|
y4 |
y5 |
y1 |
y2 |
Вспомогательные
|
Основные |
Заполним строку yi.
Значения y1 = 1 и y2 = 2 мы нашли графическим способом.
Из уравнений системы (б) находим:
По второй теореме двойственности:
x3 = 0, так как y5 = 5 > 0,
x4 = 0, так как y1 = 1 > 0,
x5 = 0, так как y2 = 2 > 0.
Осталось найти x1 и x2. Найденные нулевые xi подставим в систему (а). Получим систему:
Её решение находится без труда.
Оптимальный план
для задачи А2 найден. Далее можно вычислить .
Пример. Решим задачу линейного программирования:
(3)
(4)
Задача имеет симметричный вид и содержит два ограничения. Следовательно, для неё можно составить двойственную задачу с двумя неизвестными, которая допускает графическое решение.
Двойственная задача, очевидно, записывается в виде
(5)
(6)
Множество её допустимых значений ограничено. Это треугольник АВС. Функция цели достигает максимума в точке В.
(l1) (l2) (l2)
Для отыскания её координат решим систему линейных уравнений (7):
(7)
Решение системы имеет вид:
Итак,
По первой основной теореме двойственности
(8)
Запишем ограничения взаимно-двойственных задач в форме уравнений:
(9)
и
(10)
В системе (10) вместо y1 и y2 подставим найденные выше их оптимальные значения y1 = y2 = 2,4. Это позволит найти значения вспомогательных переменных:
Подумайте: случайно ли y3 и y5 оказались равными нулю?
Заполним таблицу, используя полученные данные и вторую основную теорему двойственности:
|
Основные переменные
|
Вспомогательные переменные | |||
(3)
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
(4)
|
? |
0 |
? |
0 |
0 |
(5)
|
0 |
0,8 |
0 |
2,4 |
2,4 |
(6)
|
y3 |
y4 |
y5 |
y1 |
y2 |
|
Вспомогательные переменные
|
Основные переменные |
Подставим в (9) вместо x2, x4 и x5 нули. Получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Отсюда
Теперь можно записать оптимальный план исходной задачи:
Выводы:
1. Двойственные задачи строим для задач линейного программирования, записанных в симметричной форме.
2.Число неизвестных в одной из задач равно числу неравенств в системе ограничений другой из них .
3. Если в задаче 1 все неравенства смысла «≥» и функция цели стремится к min, то в двойственной задаче – наоборот: все неравенства смысла «≤», а функция цели стремится к max.
4. Свободные члены в системе ограничений одной из задач являются коэффициентами в функции цели другой.
5. Матрицы коэффициентов при неизвестных в системах ограничений взаимно-двойственных задач получаются одна из другой с помощью операции транспонирования.
6. Если одна из взаимно-двойственных задач имеет оптимальный план, то другая также имеет оптимальный план.
7. Оптимальные значения функций цели задач 1 и 2 совпадают.
8. Зная оптимальный план одной из задач, можно найти оптимальное решение другой, опираясь на вторую основную теорему двойственности.