![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Введение
- •§1. Математическая теория динамики развивающихся систем
- •1.1. Основные понятия
- •1.1.1. Некоторые свойства разделяющихся систем.
- •1.1.2. Понятие математической модели.
- •1.2. Классические методы описания динамических систем.
- •1.2.1. Качественная теория динамических систем.
- •1.2.2. Редукция сложных моделей.
- •§2. Динамические модели в экономике
- •2.1. О классификации моделей.
- •2.1.1. Макромодели экономического роста.
- •2.1.2. Микромодели равновесия.
- •2.1.3. Макромодели равновесия.
- •2.1.4. Модели глобальной динамики.
- •2.2. Некоторые примеры модели.
- •2.2.1. Классические модели.
- •Глава I. Знакомимся с математическим моделированием
- •§ 1. Зачем нужны модели?
- •§ 2. Примеры математических моделей.
- •А функция
- •§ 3. Математические модели и экономика
- •3.1. Знакомимся с математическим моделированием
- •Немного истории.
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава II. Линейная алгебра в экономике
- •§ 1. Какие бывают задачи линейного программирования?
- •Контрольные вопросы и задания
- •§2. Займемся рыбоводством. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§3. Как распорядиться запасами сырья: произвести из него продукцию или выгодно продать? Двойственные задачи линейного программирования
- •Взаимно-двойственные задачи линейного программирования
- •Основные теоремы теории двойственности
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 4. Повысим рентабельность. Задача дробно-линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§5. Многофакторные производственные функции
- •Степенная производственная функция (функция Кобба-Дугласа)
- •Функция с постоянными пропорциями
- •Задания
- •§ 6. Способы задания функций двух независимых переменных. Область определения
- •Главаiii. Линейные балансовые модели в экономике
- •§ 1. Понятие о межотраслевом балансе Предварительные замечания
- •Задания.
- •§ 2. Межотраслевая балансовая модель и ее свойства
- •Построение балансовой модели
- •§3. Задачи, решаемые с помощью балансовой модели
- •Два способа получения значений коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат
- •Задания
- •Свойства технологических коэффициентов
- •Задания
- •Коэффициенты косвенных затрат
- •Задание
- •Основные соотношения и формулы
- •§4. Коэффициенты прямых и полных затрат труда и капиталовложений.
- •§5. Полные и суммарные затраты труда и капиталовложений
- •Контрольные задания
- •Вопросы и задания для проведения собеседования по материалу главы III.
- •Глава IV максимизация полезности. Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты
- •§1. Функция полезности. Задача потребительского выбора
- •Имеем приближенное равенство
- •Примером функции полезности может служить функция
- •§2. Решение задачи потребительского выбора и его свойства
- •Выписываем функцию Лагранжа
Контрольные вопросы и задания
Когда задача ЛП имеет каноническую форму?
Когда задача ЛП имеет стандартную форму?
Приведите к канонической форме задачи ЛП:
а)
б)
Приведите к стандартной форме задачи линейного программирования:
а)
б)
§2. Займемся рыбоводством. Графический метод решения задачи линейного программирования
Графическим методом можно решить задачи ЛП стандартной формы, в которых не более двух переменных. Этот метод позволяет также решать задачи, которые можно привести к указанному выше виду.
Рассмотрим пример решения графическим методом задачи линейного программирования.
Задача 1.
Озеро можно заселить двумя видами рыб
и
.
Средняя масса рыбы равна
кг
для вида
и 1 кг для вида
.
В озере имеется два вида пищи:
и
.
Средние потребности одной рыбы вида
составляет 1ед. корма
и 3 ед. корма
в день. Аналогичные потребности для
рыбы вида
составляют 2 ед.
и 1 ед.
.
Ежедневный запас пищи поддерживается
на уровне 500 ед.
и 900 ед.
.
Как следует заселить озеро рыбами, чтобы
максимизировать общую массу рыб?
Решение.
Обозначим через
число рыб вида
и через
число рыб вида
.
Общая масса рыб будет равна
.
Корма
этим
рыбам потребуется
единиц в день. Поскольку дневной запас
корма
ограничен величиной 500 ед., то мы должны
ввести ограничения
Для корма
получаем аналогично второе ограничение:
Кроме того,
и
.
Получили задачу линейного программирования:
Решим эту задачу
графическим способом. Допустимые планы
задачи располагаются в первом квадрате,
т.к.
.
Неравенство
определяет полуплоскость. Для построения
этой полуплоскости построим сначала
прямую
.
Для построения прямой необходимо найти
две точки на этой прямой. Пологая
,
находим
,
т.е. прямая
пересекает ось (
)
в точке (500,0). Если взять
,
то
.
Через точки (0,250) и (500; 0) проводим прямую
.
Удобно взять точку (0;0). Если координаты
удовлетворяют первому неравенству
Поэтому неравенство
задает ту полуплоскость, которая содержит
точку (0; 0). Отметим стрелками на чертеже
выбранную полуплоскость. Аналогичным
образом находим полуплоскость, заданную
неравенством
Прямая
- граница этой полуплоскости – пересекает
координатные оси в точках (300; 0) и (0; 900).
Область допустимых планов будет
четырехугольник
Изучим поведение функции цели
,
для которой мы
хотим найти точку максимума. Выясним,
как изменяется значение целевой функции
при переходе от точки
к точке
.
Вектор
показывает направление и величину
смещения. При смещении на вектор
целевая функция изменяется на величину
Величина
равна скалярному произведению вектора
и вектора
,
образованного коэффициентами при
и
в функции цели
.
Этот вектор называют
нормальным
вектором целевой
функции. Если вектор смещения
перпендикулярен
,
т.е.
то целевая функция не изменит своего
значения:
.
Если угол между
векторами
и
острый, то
> 0, поскольку
можно вычислять и как произведение длин
векторов
на косинус угла между ними. Если же угол
между
и
тупой, то
<
0. Нормальный вектор целевой функции
показывает направление возрастание
целевой функции, ибо в случае
косинус угла между этими векторами
равен единице, и
достигает максимально возможного для
значения.
Для всех точек,
какой – либо прямой, перпендикулярной
вектору
,
целевая функция имеет одно и то же
значение. Такие прямые называютлиниями
уровня
целевой функции. Все они параллельны
друг другу и перпендикулярны вектору
.
Перемещая параллельно самой себе линию
уровня в направлении вектора
,
можно найти точку минимума и точку
максимума целевой функции. Точкой
минимума будет та из точек области
допустимых планов, в которой перемещаемая
линия уровня впервые встретилась с
областью допустимых планов, а точкой
максимума – та, в которой линия уровня
полностью вышла из области.
Изобразим на
рисунке 1 линию уровня
нашей целевой функции. Прямая
проходит через начало координат и
перпендикулярна вектору
.
Из рисунка видно, что точкой максимума
будет точки
- точка пересечения прямых
и
Для нахождения
координат точки
составляем
систему уравнения, в которую входят
уравнения прямых
и
:
Решением этой
системы будет пара чисел:
.
Итак, найден
оптимальный план
.
В этой точке целевая функция имеет
значение
.
Смысл найденного
ответа такой. Наибольшей будет общая
масса рыб при условии, если в озере будет
260 рыб вида
и 120 рыб вида
и равна эта масса 640 кг.
Задача 2. На велосипедном заводе выпускают гоночные и дорожные велосипеды. Производство устроено так, что вместо двух дорожных велосипедов завод может выпустить один гоночный, причем гоночный велосипед приносит в 1,5 раза больше прибыли. Завод может произвести 700 дорожных велосипедов в день, однако склад может принять не более 500 велосипедов в день. Сколько нужно выпускать в день гоночных и сколько дорожных велосипедов, для того чтобы завод получал максимальную прибыль?
Решение.
Обозначим через
число гоночных, а через
число дорожных велосипедов, выпускаемых
заводом ежедневно. Поскольку
гоночных велосипедов по производству
эквивалентны
дорожных велосипедов, то общее число
«условных» велосипедов равно
.
Оно не может быть более 700. Получаем
ограничение:
Возможности склада обуславливают второе ограничение:
Очевидно,
.
Прибыль пропорциональна величине
Получаем задачу ЛП стандартной формы:
Решаем ее графически.
Нормальный вектор целевой функции
изображен на чертеже в увеличенном
масштабе. Нам важна не его длина, а его
направление. Точкой максимума будет
точкаВ– точка пересечения прямыхl1и l2.
Ее координаты определяем из системы
Итак, завод должен выпускать 200 гоночных и 300 дорожных велосипедов в день. При этом прибыль завода будет максимальна.
Решая задачу линейного программирования графическим способом, мы можем встретиться со следующими случаями:
На рисунке а) изображен случай, когда целевая функция имеет единственную точку максимума – точку А и единственную точку минимума – точку О. В случае б) максимума у целевой функции нет, так как она может неограниченно возрастать. Точек минимума в случае б) бесконечно много. Все точки отрезка [СК] будут точками минимума. В случае в) целевая функция имеет единственную точку максимума и не имеет минимума (не ограничена с низу). В случае г) область допустимых планов пустая. Решений нет.
Выводы:
Решая задачу линейного программирования графически, нужно проделать следующие действия:
Преобразуйте задачу к стандартной форме, если это необходимо.
Для каждого неравенства выполните действия:
а) для неравенства ах + by ≤ с (или ах + by ≥ с) постройте прямую ах + by = с(l);
б) возьмите «пробную» точку, которая не лежит на прямой l, и выясните, какое из неравенств выполняется: ах + by < с или ах + by > с;
в) отметьте стрелками (или любым другим способом), какая из двух полученных полуплоскостей является решением данного неравенства.
Найдите область D допустимых планов задачи как пересечение всех полуплоскостей.
Если D = , то решений нет.
Если D
≠ ,
то изобразите вектор нормали
целевой функции
.
Изобразите линии уровня целевой функции
, которые образуют семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору
.
Определите по чертежу точку максимума или минимума (точку выхода или входа).
Вычислите значение целевой функции в точке экстремума (максимума или минимума).