![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Введение
- •§1. Математическая теория динамики развивающихся систем
- •1.1. Основные понятия
- •1.1.1. Некоторые свойства разделяющихся систем.
- •1.1.2. Понятие математической модели.
- •1.2. Классические методы описания динамических систем.
- •1.2.1. Качественная теория динамических систем.
- •1.2.2. Редукция сложных моделей.
- •§2. Динамические модели в экономике
- •2.1. О классификации моделей.
- •2.1.1. Макромодели экономического роста.
- •2.1.2. Микромодели равновесия.
- •2.1.3. Макромодели равновесия.
- •2.1.4. Модели глобальной динамики.
- •2.2. Некоторые примеры модели.
- •2.2.1. Классические модели.
- •Глава I. Знакомимся с математическим моделированием
- •§ 1. Зачем нужны модели?
- •§ 2. Примеры математических моделей.
- •А функция
- •§ 3. Математические модели и экономика
- •3.1. Знакомимся с математическим моделированием
- •Немного истории.
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава II. Линейная алгебра в экономике
- •§ 1. Какие бывают задачи линейного программирования?
- •Контрольные вопросы и задания
- •§2. Займемся рыбоводством. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§3. Как распорядиться запасами сырья: произвести из него продукцию или выгодно продать? Двойственные задачи линейного программирования
- •Взаимно-двойственные задачи линейного программирования
- •Основные теоремы теории двойственности
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 4. Повысим рентабельность. Задача дробно-линейного программирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •§5. Многофакторные производственные функции
- •Степенная производственная функция (функция Кобба-Дугласа)
- •Функция с постоянными пропорциями
- •Задания
- •§ 6. Способы задания функций двух независимых переменных. Область определения
- •Главаiii. Линейные балансовые модели в экономике
- •§ 1. Понятие о межотраслевом балансе Предварительные замечания
- •Задания.
- •§ 2. Межотраслевая балансовая модель и ее свойства
- •Построение балансовой модели
- •§3. Задачи, решаемые с помощью балансовой модели
- •Два способа получения значений коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат
- •Задания
- •Свойства технологических коэффициентов
- •Задания
- •Коэффициенты косвенных затрат
- •Задание
- •Основные соотношения и формулы
- •§4. Коэффициенты прямых и полных затрат труда и капиталовложений.
- •§5. Полные и суммарные затраты труда и капиталовложений
- •Контрольные задания
- •Вопросы и задания для проведения собеседования по материалу главы III.
- •Глава IV максимизация полезности. Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты
- •§1. Функция полезности. Задача потребительского выбора
- •Имеем приближенное равенство
- •Примером функции полезности может служить функция
- •§2. Решение задачи потребительского выбора и его свойства
- •Выписываем функцию Лагранжа
Контрольные вопросы и задания
1. Составьте двойственную задачу для задачи линейного программирования:
а)
б)
в)
2. Составьте двойственную задачу и обе задачи решите графически:
а)
б)
в)
3. Для следующих задач линейного программирования составьте двойственные. Одну из взаимно-двойственных задач решите графически. Решение другой найдите, опираясь на основные теоремы двойственности:
а)
б)
в)
4. Сформулируйте первую теорему двойственности.
5.
Используя первую теорему двойственности,
докажите неравенство
,
верное для любых допустимых планов
задачА
и В.
6. Какую можно дать экономическую интерпретацию следующим равенствам в задачах А2 и В2:
а) x4 = 0; б) x3 = 0; в) y4 = 0; г) y5 = 5?
§ 4. Повысим рентабельность. Задача дробно-линейного программирования
Рентабельность – показатель, представляющий собой отношение прибыли к сумме затрат на производство. Выражается обычно в процентах.
Задача. Завод выпускает продукцию n видов P1, P2, ..., Pn. В процессе производства используются k видов сырья S1, S2, ..., Sk, запасы которого ограниченны. Требуется составить производственный план таким образом, чтобы обеспечить максимально возможную рентабельность завода. Нормы расхода дефицитных видов сырья, его запасы, а также удельные и условно-постоянные затраты и прибыль, получаемая заводом от реализации одного изделия, приведены в таблице:
Сырьё
Продукция
|
S1, S2, ..., Sj..., Sk нормы расхода сырья на 1 изделие |
Удельные затраты на 1 изделие |
Прибыль от реализации изделия |
P1
P2
:
Pi
:
Pn
|
a11 a21 ... aj1 ... ak1
a12 a22 ... aj2 ... ak2
...
a1i a2i ... aji ... aki
...
a1n a2n ... ajn ... akn
|
b1
b2
:
bi
:
bn
|
c1
c2
:
ci
:
cn
|
Запасы сырья
|
a10 a20 ... aj0 ... ak0
|
Условно-постоянные b0 затраты
|
Прежде чем строить математическую модель этой задачи, вспомним следующие определения:
1. Условно-переменные затраты – те затраты, которые изменяются прямопропорционально объёмам выпуска товаров. К ним относятся затраты на материалы, энергию, комплектующие изделия, заработную плату.
2. Условно-постоянные затраты – те затраты, которые практически не зависят от изменения количества выпущенной продукции.
К ним относятся, например, затраты на освещение и содержание производственных помещений, арендная плата за помещение и оборудование, выплаты в погашение ранее полученных ссуд, всевозможные административные и иные накладные расходы.
Решение. Построение математической модели начинаем с введения переменных, относительно которых будет решаться задача. Обозначим через x1, x2,..., xn объёмы выпуска продукции P1, P2,..., Pn соответственно.
Прибыль от реализации продукции, произведённой в указанном количестве составит
денежных единиц, а затраты на производство будут равны сумме условно-переменных и условно-постоянных затрат
.
Получим выражение для подсчёта рентабельности:
.
Функция цели построена.
Затраты первого ресурса на производство x1 единиц продукции P1 находим, умножая нормы расхода сырья a11 на объём выпуска x1:
.
Так же определяем затраты S1 на производство продукции второго, третьего и всех других видов:
.
Сумма этих произведений даёт величину затрат первого ресурса на все виды продукции. Запасы S1 ограниченны, поэтому его суммарные затраты не должны превосходить a10. Приходим к первому ограничению по запасам сырья:
.
Таким же образом получаем ограничения для S2, S3,..., Sn:
Каждый коэффициент aij имеет два индекса, указывающие на его положение в системе (как номер вашего дома на улице и квартиры, где вы живёте): первый индекс указывает номер уравнения, а второй – номер переменной, к которой относится коэффициент.
Учитывая, что все
неотрицательны, получаем следующую
математическую задачу:
Среди решений системы ограничений
(1)
найти такое (такие), при котором функция цели z достигнет своего наибольшего значения:
(2)
Теперь нам предстоит выбрать метод решения сформулированной задачи. Для этого сначала проанализируем её условие. В этой задаче математического программирования система ограничений (1) состоит из линейных неравенств, а функция цели (2) представляет собой отношение двух линейных функций.
Такие задачи называют задачами дробно-линейного программирования. Как же их решать? Оказывается, что задачи этого класса легко сводятся к задаче линейного программирования.
Обозначим через
знаменатель функции цели (2)
b1x1
+ b2x2
+ … + bnxn
+b0
=
.(3)
Очевидно, ν > 0.Умножим на него обе части уравнения (3), такую же операцию проделаем с каждым неравенством системы (1). Получим:
(4)
Функция цели z, с учетом введенного обозначения (3), запишется так:
(5)
Если обозначить
через
,
то система (4) и функция (5) примут вид:
(6)
(7)
Задача (6) –(7) –
задача линейного программирования.
Решив ее относительно
и ν , можем найти соответствующие
оптимальные значения
.
Для этого достаточно воспользоваться
формулами перехода:
(8)
Максимальное значение функции (7), очевидно, совпадает с максимальным значением дробно-линейной функции цели (2).
Пример. Проведем подробное решение задачи на максимализацию рентабельности для предприятия, выпускающего два вида продукции P1 и P2 при наличии двух дефицитных ресурсов S1 и S2. Под S1 можем понимать, например затраты электроэнергии, а под S2 – трудовые ресурсы. Предположим также, что при подсчете рентабельности будем учитывать лишь чистую прибыль предприятия (часть прибыли, остающаяся в распоряжении предприятия после уплаты налогов и внесения других обязательных платежей). Данные необходимые для решения задачи, приведены в таблице (в расчете на тысячу изделий):
Ресурсы
Продукция
|
S1 |
S2 |
Удельные затраты на производство (в млн.руб.) |
Прибыль от реализации (в млн.руб.) |
Нормы расхода сырья (в тыс.руб.) | ||||
P1
P2
|
1,8
0,2 |
2,55
1,2 |
0,01
0,04 |
0,012
0,008
|
Запасы ресурсов (тыс.руб.) |
20 |
45 |
Условно-постоянные затраты (в млн.руб.) |
Пусть x1 и x2 соответственно объемы выпуска изделий первого и второго видов (в тыс.штук). Тогда чистая прибыль от реализации этих изделий составит
а затраты на производство будут равны
Рентабельность вычисляется по формуле:
(9)
Ограничения по затратам электроэнергии и трудовых ресурсов запишем в виде неравенств
(10)
Учитывая
неотрицательность переменных
и
,
а также (9) и (10), получаем задачу
дробно-линейного программирования:
(11)
Сведем ее к задаче
линейного программирования. Обозначим
знаменатель функции цели через
:
(12)
Так как
то мы имеем право умножить на него обе
части каждого неравенства в системе
ограничений. При этом смысл неравенств
сохраняется. Подвергнем такому же
преобразованию уравнение (12). Это позволит
записать систему ограничений в таком
виде:
С учетом (12) преобразуем функцию цели:
Введем новые переменные:
(13)
Окончательная задача запишется так:
(14)
Это задача линейного программирования. Решим ее. Прежде всего исключим переменную ν из первых двух ограничений. Для этого к первому неравенству прибавим третье ограничение, умноженное на 20, а ко второму неравенству прибавим это уравнение, умноженное на 45. Система ограничений примет вид:
Из уравнения
выразим ν через
и
:
(15)
Теперь мы можем
отбросить положительное ν в третьем
ограничении. Баланс нарушается. Уравнение
заменится неравенством. В результате
проведенных преобразований получим
задачу линейного программирования с
ограничения ми-неравенствам, содержащую
всего две переменные
и
.
(16)
Эту вспомогательную задачу решим графически. Для построения граничных прямых используем, например, следующие пары точек:
,
Рис.6
Область допустимых
решений системы ограничения имеет вид
четырехугольника
Нормаль
к опорной прямой
представлена вектором
Этот вектор, очевидно коллинеарен
вектору
который
неудобен для изображения. Для задачи
на максимизацию функции цели оптимальное
решение находится в точке выхода из
области допустимых решений. Это точка
В. Найдем ее координаты. С этой целью
решим систему, составленную из уравнений
прямыхI
и II:
Решив эту систему,
найдем
Получим:
и
.
Вспомогательная
задача решена. Воспользуемся формулами
перехода (15) и (13) для отыскания
Прежде всего определим величину
Теперь найдем
и
:
Округляем результаты до 0,01. С указанной точностью запишем ответ задачи:
Итак, при плане
тыс. штук,
тыс. штук рентабельность составит 14%.
Вопрос. Можно ли результат округлить до целых десятых, до тысячных? Почему?
Рассмотрим еще один способ решения предыдущей задачи дробно-линейного программирования:
при ограничениях
Сначала построим область допустимых планов (рис7).
рис.7.
Ею будет
четырехугольник ОАВС. Теперь будем
изображать на чертеже линии уровня
целевой функции. Это линии, состоящие
из точек, в которых целевая функция
имеет определенное заранее заданное
значение. Пусть
- постоянное значение. Линия уровня
соответствующая значению α, будет
задаваться уравнением
Это уравнение можно преобразовать к виду
Очевидно, что при каждом постоянном значении α, это уравнение задает прямую, так как его можно записать в виде
Кроме того, все
прямые
проходят
через точкуS,
в которой равны нулю оба выражения,
стоящие в числителе и в знаменателе
целевой функции. Действительно, в этой
точке уравнение
превращается в равенство
которое справедливо при любом значении
α.
Точка S
не входит в область допустимых значений
целевой функции. Семейство прямых
имеет вид, представленный на рисунке
8. Это пучок прямых на плоскости
,
проходящих через точкуS
(но не содержащие ее).
рис.8.
Изменяя α, мы будем
«вращать» вокруг точки S
линию уровня
.
При вращении в одну сторону значение
целевой функции будет увеличиваться,
а при вращении в другую – уменьшаться.
Найдем координаты точки S. Для этого нужно решить систему уравнений
Применяя какой-либо
способ решения, находим
(проверьте
это!).
Из чертежа видно, что точкой максимума может быть или точка О, или точка В, т.к. А и С занимаю промежуточное положение.
,
так как
Поэтому В точка
максимума. Ее координаты находим из
системы уравнений, задающих прямые
и
Умножим на 6 обе
части первого уравнения и вычтем из них
соответствующие части второго уравнения.
Получим
т.е.
Подставив
в первое уравнение, находим:
Далее определяем
значение целевой функции
В процентах это значение равно 14%.
Ответ: максимальная
рентабельность 14% достигается при
и
Выводы:
1. Задача математического программирования с линейной системой ограничений и дробно-линейной функцией цели называется задачей дробно-линейного программирования.
2. Задачи этого класса с помощью замены переменных сводятся к задачам линейного программирования.
3. Решив задачу линейного программирования относительно вспомогательных переменных, необходимо с помощью формул перехода
найти соответствующие оптимальные значения переменных основной задачи. Только после этого можно записать ответ.
4. Оптимальные значения функции цели основной и вспомогательной задачи совпадают.