Глава IV максимизация полезности. Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты

§1. Функция полезности. Задача потребительского выбора

В данной главе будут рассмотрены некоторые модели потребительского выбора. Будем считать, что потребитель располагает доходом I, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов). Точнее говоря, величина I - это не доход, а расход данного потребителя. Потребитель решает статическую задачу, то есть в модели не учитываются его межвременные предпочтения и возможности делать или расходовать сбережения. Цены благ считаются заданными. Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенные количества благ, и математическая модель такого его поведения называется моделью потребительского выбора. Вначале мы рассмотрим модель с двумя видами благ. Такая модель удобна прежде всего возможностью графической интерпретации, сохраняя при этом все принципиальные свойства общей модели.

Рассмотрим потребительские наборы из двух благ. Потребительский набор (для краткости набор) - это вектор, координата , которого равна количеству единиц первого блага, а координата равна количеству единиц второго блага.

Выбор потребителя (индивидуума) характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые 2 набора может сказать, что либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор предпочтительнее набора,а наборВ предпочтительнее набора , то наборА предпочтительнее набора С.

На множестве потребительских наборов определена функция (называемая функцией полезности потребителя), значение которой на потребительском набореравно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Потребительскую оценкунаборапринято называтьуровнем (или степенью) удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор . Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если наборA предпочтительнее набора B, то.

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:

1) Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской оценки, т.е.

если , то;

если , то.

1') Пусть

Из свойства 1') следует свойство 1).

Первые частные производные называются предельными полезностями продуктов: называется предельной полезностью первого продукта,- предельная полезность второго продукта. Для предельных полезностей первого и второго продуктов используется также символика

2) Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растет (это свойство предельной полезности называется законом убывания предельной полезности).

2') Пусть

Из свойства 2') следует свойство 2).

3) Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно. Данное свойство не столь очевидно, как 1)-2), и справедливо не для всех благ: если блага могут полностью замещать друг друга в потреблении, свойство 3) не выполняется. Предположение 3) вводится не всегда, но оно гарантирует выпуклость вниз линий безразличия.

3') Пусть

Из свойства З') следует свойство 3).

В учебной и монографической литературе понятие предельной полезности толкуется неоднозначно. Помимо приведенного выше определения предельной полезности первого (второго) продукта в виде частной производной первого порядка, под предельной полезностью первого (второго) продукта понимают отношение приращения функции полезности к приращению вызвавшего его количества этого продукта:

Наконец, предельной полезностью первого (второго) продукта называют разность

или

Из контекста обычно бывает ясно, о каком конкретно толковании предельной полезности идет речь.

Линия, соединяющая потребительские наборы имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называетсялинией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. На рис. 6 показан фрагмент карты линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Если линия безразличия расположена выше и правее ("северо-восточнее") линии безразличия, то . Верно и обратное. Иными словами чем "северо-восточнее" расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребности она соответствует.

Условия 1)-3) означают, что линия безразличия убывает (является нисходящей) и строго выпукла к началу координат (к точке 0). Чтобы пояснить это, рассмотрим дифференциал (главную линейную часть приращения) функции . Если двигаться вдоль линии уровня, то приращение функции равно нулю, и, следовательно, можно считать равной нулю и его главную линейную часть. Дифференциал функции полезности записывается следующим образом:

(1)

Итак, функция , то есть зависимость от , вдоль кривой

безразличия, является убывающей, поскольку производная ее отрицательна. Вторая производная функции выглядит следующим образом:

(2)

Ее положительность вытекает из свойств 1)-3), следовательно, кривые безразличия выпуклы вниз.

Рассмотрим фиксированную линию безразличия l_. Пусть потребительский набор. При выполнении ряда естественных предположений (непрерывность первых частных производных , и ) справедлива, как уже было показано, следующая формула:

(3)