42 Частные производные, их геометрический смысл.

Частной производной ф-ии Z=f(x,y) по переменной х наз-ся предел отношения частного приращения ф-ии по данной переменной к соответствующей приращению переменной когда последняя → 0 z|x= f|x= ∂z/∂x=∂f/∂x= lim(?х→0) ?хz /?х

Анологично определяется частная производная ф-ии Z=f(x,y)

по переменной “у”.z|у= f|у=∂z/∂у=∂f/∂у= lim(?у→0) ?уz /?у

т.к. при нахождении часного приращения ф-ии по переменной «х;у» считается постоянной, а при нахождении часного приращения ф-ии по переменной «у;х» считается постоянной, то из этого следует общее правило нахождения частных произ-ых.

Правило: чтобы найти ЧП-ую по одной из переменных, остальные переменные считаются постоянными и производную находят, как от ф-ии одной переменной.

Геометрический смысл ЧП-ой состоит в следующем : значение ЧП-ой по переменной «х» = тангенсу угла наклона на касательной проведённой к кривой получаемой пересечением поверхностей Z=f(x,y) и плоскости у=у0.Анологично опр-ся геометрический смысл ЧП-ой по переменной «у». Значение ЧП-ой по переменной «у» = тангенсу угла наклона касательной проведённой к кривой к-рая получается при пересечении поверхности с плоскостью х=х0.

43 Частные производные высших порядков . Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

44 Касательная плоскость к поверхности, определяемой графиком функции двух переменных . Её уравнение и нормаль к поверхности.

45 Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости. Свойства полного дифференциала

Достаточное условие дифференцируемости функции m переменных.

Пусть функция f( ) определена в некоторой окрестности точки . Пусть у функции в этой окрестности существуют непрерывные частыне производные по всем переменным, тогда функция f дифференцируема в этой точке.

Доказательство:

Для сокращения записи проведем для случая функции двух переменных.

Для доказательства дифференцируемости нужно доказать, что ей приращение представимо в определенном виде:

применим теорему Лагранжа на

так как функция f имеет непрерывные частные производные по обеим переменным в точке , то

1 ) где при

2 ) где при при

Получили нужное представление.

46 Геометрический смысл дифференциала. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Нормаль

касательная плоскость

Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 1.

Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Дискретная математика (конечная математика) - раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов конечного характера. К их числу могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные графы, некоторые математические модели преобразователей информации.